《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例5 已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1,a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+3}(n\in\mathbf{N}^{*})$，求数列$\{a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解　因为$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+3}(n\in\mathbf{N}^{*})$，所以$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{3}{a_{n}}+1$， 　设$\frac{1}{a_{n + 1}}+t = 3(\frac{1}{a_{n}}+t)$， 　所以$3t - t = 1$， 　解得$t = \frac{1}{2}$， 　所以$\frac{1}{a_{n + 1}}+\frac{1}{2}=3(\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{2})$， 　又$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$， 　所以数列$\{\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$为首项，$3$为公比的等比数列， 　所以$\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\times3^{n - 1}=\frac{3^{n}}{2}$， 　所以$a_{n}=\frac{2}{3^{n}-1}$

跟踪训练3 在数列$\{b_{n}\}$中，$b_{1}=-1,b_{n + 1}=\frac{b_{n}}{3b_{n}+2}$，则数列$\{b_{n}\}$的通项公式$b_{n}=\underline{\hspace{50pt}}$.

答案： $\frac{1}{2 - 3^{n}}$

数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
$S_{n}=$__________ =__________.
②等比数列的前n项和公式：
$S_{n}=\begin{cases}na_{1},q = 1,\\\underline{\qquad\qquad}=\underline{\qquad\qquad},q\neq1.\end{cases}$
(2)分组求和法与并项求和法
①分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
②并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如$a_{n}=(-1)^{n}f(n)$类型，可采用两项合并求解.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
(4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧
①$\frac{1}{n(n + 1)}=$____________.
②$\frac{1}{n(n + 2)}=$____________.
③$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=$________________.
④$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}=$____________.
⑤$\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{n(n + 1)}-\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}]$.

答案： $\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$　$na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$
@@$\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$　$\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$
@@$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
@@$\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$
@@$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$
@@$\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$