《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，A₁C⊥平面ABC，∠ACB = 90°.
（1）证明：平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）设AB = A₁B，AA₁ = 2，求四棱锥A₁ - BB₁C₁C的高.

答案：
（1）证明　因为A₁C⊥平面ABC, BC⊂平面ABC，所以A₁C⊥BC, 　又因为∠ACB = 90°，即AC⊥BC， 　因为A₁C,AC⊂平面ACC₁A₁,A₁C ∩AC = C,所以BC⊥平面ACC₁A₁,又因为BC⊂平面BB₁C₁C, 　所以平面ACC₁A₁⊥平面BB₁C₁C. 　（2）解　如图， 　过点A₁作A₁O⊥ CC₁于点O. 　　　　　　　　　 因为平面ACC₁A₁ 　⊥平面BB₁C₁C, 　平面ACC₁A₁∩ 　平面BB₁C₁C = CC₁,A₁O⊂平面ACC₁A₁,所以A₁O⊥平面BB₁C₁C 　所以四棱锥A₁ - BB₁C₁C的高为A₁O.因为A₁C⊥平面ABC,A₁C,BC⊂平面ABC,所以A₁C⊥BC,A₁C⊥AC，在Rt△ABC与Rt△A₁BC中， 　因为AB = A₁B,BC = BC, 　所以Rt△ABC≌Rt△A₁BC, 　所以AC = A₁C. 　设A₁C = AC = x，则A₁C = x， 　所以O为CC₁中点,OC₁ = $\frac{1}{2}$AA₁ = 1,又因为A₁C⊥AC, 　所以A₁C² + AC² = AA₁² 　即x² + x² = 2²，解得x = $\sqrt{2}$,所以A₁O 　= $\sqrt{A₁C² - OC₁²}$ = $\sqrt{(\sqrt{2})² - 1²}$ = 1,所以四棱锥A₁ - BB₁C₁C的高为1.

跟踪训练2（2023·邯郸模拟）如图，在四棱锥P - ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，CD = 2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥平面ABCD；
（2）平面BEF//平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.

答案： 证明　（1）
∵平面PAD ⊥平面ABCD， 　PA⊂平面PAD,PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD = AD,
　
∴PA⊥平面ABCD. 　（2）
∵AB//CD,CD = 2AB， 　E是CD的中点，
　
∴AB//DE，且AB = DE,
　
∴四边形ABED是平行四边形，
　
∴AD//BE,
　
∵BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD.
∴BE//平面PAD,
　
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴EF//PD,
∵EF⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴EF//平面PAD,
　
∵BE∩EF = E.BE.EF⊂平面BEF,
∴平面BEF//平面PAD. 　（3）
∵AB⊥AD,
　
∴平行四边形ABED是矩形，
　
∴BE⊥CD,AD⊥CD, 　由
(1)知PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵PA∩AD = A,
　
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥PD，
　
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD//EF.
∴CD⊥EF, 　又
∵BE∩EF = E,
∴CD⊥平面BEF,
∵CD⊂平面PCD，
　
∴平面BEF⊥平面PCD