《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1.空间向量的有关概念

答案： 大小　方向　相同　相等　相等　相反　平行　重合　同一个平面　

2.空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对任意两个空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$（$\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}$），$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充要条件是存在实数$\lambda$，使____________________.
（2）共面向量定理：如果两个向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，那么向量$\boldsymbol{p}$与向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共面的充要条件是存在________的有序实数对$(x,y)$，使$\boldsymbol{p}=$________________.
（3）空间向量基本定理
如果三个向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$不共面，那么对任意一个空间向量$\boldsymbol{p}$，存在唯一的有序实数组$(x,y,z)$，使得$\boldsymbol{p}=$________________.$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$叫做空间的一个基底.

答案：
(1)$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$　
(2)唯一　$x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$ 　
(3)$x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}$

3.空间向量的数量积及运算律
（1）数量积
非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的数量积$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$________________.
（2）空间向量的坐标表示及其应用
设$\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$，$\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$.

答案：
(1)$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$  
$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$　$a_{1}=\lambda b_{1},a_{2}=\lambda b_{2},a_{3}=\lambda b_{3}$　$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$　$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$　$\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$