《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角. ( )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大. ( )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα. ( )
(4)经过P₀(x₀，y₀)的任意直线方程可表示为y - y₀ = k(x - x₀). ( )

答案：
(1)√　
(2)×　
(3)×　
(4)×

2.(选择性必修第一册P55T4改编)已知点A(2，0)，B(3，√3)，则直线AB的倾斜角为 ( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°

答案： B

3.(选择性必修第一册P67T7)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________________.

答案： 3x-2y=0或x+y-5=0

4.(选择性必修第一册P80T16改编)直线x + (m + 1)y + m = 0(m∈R)所过的定点坐标为______________.

答案： (1.-1)

例1 (1)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，√3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A.[ - √3，1]
B.( - ∞， - √3]∪[1，+∞)
C.[ - √3/3，1]
D.( - ∞， - √3/3]∪[1，+∞)
延伸探究 本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是______________.

答案： B
@@[A,1

(2)(2023·绵阳模拟)已知直线l的方程为xsinα + √3y - 1 = 0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是 ( )
A.(0，π/3]∪[2π/3，π)
B.[0，π/6]∪[5π/6，π)
C.[π/6，5π/6]
D.[π/3，2π/3]

答案： B

跟踪训练1 (1)(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l的一个方向向量为p = (sin π/3，cos π/3)，则直线l的倾斜角为 ( )
A.π/6
B.π/3
C.2π/3
D.5π/6

答案： A

(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2√3，则边AC所在直线斜率的一个可能值为____.

答案： -$\frac{\sqrt{3}}{5}$(　$\frac{\sqrt{3}}{7}$)

例2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A( - 1， - 3)，且斜率为 - 1/4；
(2)斜率为3/4，且与两坐标轴围成的面积为6；
(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍.

答案： 解　
(1)
∵所求直线过点A(-1，-3)，且斜率为一$\frac{1}{4}$，
∴y+3=-$\frac{1}{4}$(x+1)，　即x+4y+13=0.　
(2)设直线方程为y=$\frac{3}{4}$x+b,　令x=0，得y=b，　令y=0，得x=-$\frac{4}{3}$b.
∴$\frac{1}{2}$|b|:|一$\frac{4}{3}$b|=6.　解得b=±3,
∴直线方程为y=$\frac{3}{4}$x±3，　即3x-4y±12=0 　
(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y=kx，　又直线过点(2,1),
∴1=2k，解得k=$\frac{1}{2}$,
∴直线方程为y=$\frac{1}{2}$x,　即x-2y=0;　当横截距与纵截距都不为0时，　可设直线方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1,　由题意可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1,解得a=4,{b=2,a=2b,　　　　　　{
∴直线方程为$\frac{r}{4}$+$\frac{y}{2}$=1,　即x+2y-4=0;　综上，所求直线方程为x-2y=0或x +2y-4=0.