《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 (1)(多选)下列函数是奇函数的是（ ）
A. $f(x)=\tan x$ B. $f(x)=x^2 + x$
C. $f(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ D. $f(x)=\ln|1 + x|$
(2)已知函数$f(x)$对任意$x,y\in\mathbf{R}$，都有$f(x + y)=f(x)+f(y)+2$，则函数$f(x)+2$为______函数.（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）

答案：
(1)AC　[对于A,函数的定义域为{x|x≠/+kπ,k∈z|,关于原点对称，且f(-x)=tan(-x)=-tanx =-f(x)，故函数为奇函数; 　对于B,函数的定义域为R，关于原点对称，且f(一x)=x²-x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数; 　对于C,函数的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=$\frac{e-e}{2}$=-f(x),故函数为奇函数; 　对于D,函数的定义域为(x｜x≠-1，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数.] 　
(2)奇 　解析　由题意得函数$f(x)$的定义域为R，定义域关于原点对称， 　令x=y=0，则f(O)=f
(0)+f
(0) 　+2，故f
(0)=-2. 　令y=-x，则f(O)=f(x)+f(一x) 　+2，故f(x)+2=-f(-x)-2= 　-[f(一x)+2]. 　故f(x)+2为奇函数。

跟踪训练1 (2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是（ ）
A. $f(x)=x+\sin x$
B. $f(x)=(x - 1)\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$
C. $f(x)=\ln(\sqrt{x^2 + 1}-x)$
D. $f(x)=2^x+\frac{1}{2^x}$

答案： B

例2 (1)设函数$f(x)=x^5 + 2x^3 + 3x + 1$在区间$[ - 2025,2025]$上的最大值是$M$，最小值为$m$，则$M + m$等于（ ）
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
(2)(2023·吕梁统考)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且当$x\lt0$时，$f(x)=e^{-x}+2x - 1$，则当$x\geqslant0$时，$f(x)=$________________.

答案：
(1)B　[由题意知,函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 　令g(x)=f(x)-1=x⁵+2x³+3x，则函数g(x)为奇函数，
　
∴g(x)在区间[-2025,2025]上的最大值与最小值之和为0， 　即M-1÷m-1=0，
　
∴M十m=2.] 　
(2)-ex+2x+1 　解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x=0时，∮(O)=0. 　当x＞0时，-x＜0,f(x)=-f(-x) 　=-(e²-2.x-1)=-e+2x+1, 　又f
(0)=-e°+2×0+1=0， 　则当x≥0时，f(x)=-e+2x+1.

例3 (2023·龙岩模拟)若定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(3)=0$，则满足$xf(x - 2)\lt0$的$x$的取值范围为（ ）
A. $(-\infty,-1)\cup(2,5)$
B. $(-\infty,-1)\cup(0,5)$
C. $(-1,0)\cup(2,5)$
D. $(-1,0)\cup(5,+\infty)$

答案： C　[因为定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f
(3)=0， 　所以f(x)在(-80,0)上也单调递增，且f(-3)=0，f
(0)=0, 　所以当x∈(-∞,-3)U(0,3)时，f(x)＜0, 　当x∈(-3,0)U(3,+∞)时，f(x) 　＞0. 　所以由xf(x-2)＜0，可得|x-2＜或{x0＜＞x0-,2＜3, 　解得-1＜x＜0或2＜x＜5, 　即x∈(-1,0)U(2,5).]