《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

2.(多选)已知函数$f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2})(x\in\mathbf{R})$，下列结论正确的是（ ）
A.函数$f(x)$的最小正周期为$2\pi$
B.函数$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上单调递增
C.函数$f(x)$的图象关于直线$x = 0$对称
D.函数$f(x)$是奇函数

答案： ABC

3.函数$f(x) = 2\tan(2x - \frac{\pi}{3})$图象的对称中心的坐标是（ ）
A. ($\frac{\pi}{6}$,0)
B. ($k\pi + \frac{\pi}{6}$,0)，$k\in Z$
C. ($\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$,0)，$k\in Z$
D. ($\frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$,0)，$k\in Z$

答案： D

4.(必修第一册P213T4改编)函数$y = 3 - 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$的最大值为__________，此时$x$ =________________.

答案： 5 $\frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$

例1 (1)函数$y = \sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$的定义域为( )
A. [-$\frac{\pi}{6}$,$\frac{\pi}{6}$]
B. [$k\pi - \frac{\pi}{6}$,$k\pi + \frac{\pi}{6}$]($k\in Z$)
C. [$2k\pi - \frac{\pi}{6}$,$2k\pi + \frac{\pi}{6}$]($k\in Z$)
D. $\mathbf{R}$
(2)如果函数$f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} + a$在区间[-$\frac{\pi}{3}$,$\frac{5\pi}{6}$]上的最小值为$\sqrt{3}$，则$a$的值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

答案：
(1)C
(2)A [因为当$x\in[-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}]$时，$x+\frac{\pi}{3}\in[0,\frac{7\pi}{6}]$，所以$\sin(x+\frac{\pi}{3})\in[-\frac{1}{2},1]$，当$x = \frac{5\pi}{6}$时，$\sin(x+\frac{\pi}{3})$有最小值$-\frac{1}{2}$。可得$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}+a$的最小值为$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+a=\sqrt{3}$，解得$a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。]

跟踪训练1 (1)函数$y = \tan(\frac{\pi}{4} - x)$的定义域是（ ）
A. {$x|x\neq\frac{\pi}{4}$}
B. {$x|x\neq\frac{3\pi}{4}$}
C. {$x|x\neq\frac{\pi}{4} + k\pi,k\in Z$}
D. {$x|x\neq\frac{3\pi}{4} + k\pi,k\in Z$}
(2)函数$f(x) = \cos 2x + 6\cos(\frac{\pi}{2} - x)$的最大值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案：
(1)D
(2)B