《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2(2023.佛山模拟)已知△ABC为锐角三角形，且cosA + sinB = $\sqrt{3}$(sinA + cosB).
　(1)若C = 3，求A;
　(2)已知点D在边AC上，且AD = BD = 2，求
CD的取值范围.

答案： 例2　解　
(1)因为cosA + sinB = $\sqrt{3}$(sinA + cosB)，所以cosA - $\sqrt{3}$sinA = $\sqrt{3}$cosB - sinB，即cos(A + $\frac{\pi}{3}$)=cos(B + $\frac{\pi}{3}$)，又A∈(0,$\frac{\pi}{2}$),B∈(0,$\frac{\pi}{2}$)，所以$\frac{\pi}{3}$＜A + $\frac{\pi}{3}$＜$\frac{5\pi}{6}$，$\frac{\pi}{3}$＜B + $\frac{\pi}{3}$＜$\frac{5\pi}{6}$，所以A + $\frac{\pi}{3}$ = B + $\frac{\pi}{3}$，即B = A，又A + B + C = $\pi$，C = $\frac{\pi}{3}$，所以A + A + $\frac{\pi}{3}$ = $\pi$，即A = $\frac{\pi}{4}$。
(2)因为AD = BD = 2，所以∠DBA = ∠A，又∠ABC = A + $\frac{\pi}{6}$，可得∠DBC = $\frac{\pi}{6}$，在△DBC中，$\frac{CD}{sinDBC}$ = $\frac{BD}{sinC}$，所以CD = $\frac{BDsinDBC}{sinC}$ = $\frac{1}{sinC}$，在△ABC中，sinC = sin(A + B)=sin(2A + $\frac{\pi}{6}$)，因为△ABC为锐角三角形，所以$\begin{cases}0＜A＜\frac{\pi}{2}\\0＜B = A + \frac{\pi}{6}＜\frac{\pi}{2}\\0＜C = \pi - A - A - \frac{\pi}{6}＜\frac{\pi}{2}\end{cases}$，解得$\frac{\pi}{6}$＜A＜$\frac{\pi}{3}$，所以$\frac{\pi}{2}$＜2A + $\frac{\pi}{6}$＜$\frac{5\pi}{6}$，$\frac{1}{2}$＜sin(2A + $\frac{\pi}{6}$)＜1，所以$\frac{1}{sinC}$∈(1,2)，即CD的取值范围为(1,2)。

跟踪训练2(2023.嘉兴统考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且$\frac{a}{sinA}$ =
$\frac{b}{cosB}$,a = 3.
(1)若BC边上的高等于1,求cosA;
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.

答案： 跟踪训练2　解　
(1)由正弦定理，$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{cosB}$ = $\frac{b}{sinB}$，所以sinB = cosB，则tanB = 1，又0＜B＜$\pi$，所以B = $\frac{\pi}{4}$，因为S△ABC = $\frac{1}{2}$ah = $\frac{1}{2}$acsinB，所以$\frac{1}{2}$×3×1 = $\frac{1}{2}$×3×c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c = $\sqrt{2}$，又由余弦定理，得b² = a² + c² - 2accosB = 3² + ($\sqrt{2}$)² - 2×3×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 5，解得b = $\sqrt{5}$，所以cosA = $\frac{b² + c² - a²}{2bc}$ = $\frac{(\sqrt{5})² + (\sqrt{2})² - 3²}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}$ = -$\frac{\sqrt{10}}{10}$。
(2)由正弦定理有$\frac{c}{sinC}$ = $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{3}{sinA}$，且由
(1)可知B = $\frac{\pi}{4}$，所以c = $\frac{3sinC}{sinA}$ = $\frac{3sin(A + \frac{\pi}{4})}{sinA}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$(1 + $\frac{1}{tanA}$)，又因为△ABC为锐角三角形，所以$\begin{cases}0＜A＜\frac{\pi}{2}\\0＜\frac{3\pi}{4}-A＜\frac{\pi}{2}\end{cases}$，解得$\frac{\pi}{4}$＜A＜$\frac{\pi}{2}$，所以0＜$\frac{1}{tanA}$＜1，所以$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜c＜3$\sqrt{2}$，所以S△ABC = $\frac{1}{2}$acsinB = $\frac{1}{2}$×3×c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$c∈($\frac{9}{4}$，$\frac{9}{2}$)，所以△ABC面积的取值范围是($\frac{9}{4}$，$\frac{9}{2}$)。