《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练2 (1)已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{2}\vert\boldsymbol{a}\vert$，且$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为 （ ）
A. $45^{\circ}$ B. $135^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ D. $120^{\circ}$
(2)（多选）已知向量$\boldsymbol{a}=(m,-1)$，$\boldsymbol{b}=(-2,1)$，则下列说法正确的是 （ ）
A. 若$m = 1$，则$\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{13}$
B. 若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$m = 2$
C. “$m＜-\frac{1}{2}$”是“$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为锐角”的充要条件
D. 若$m = - 1$，则$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量的坐标为$\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$

答案：
(1)B　
(2)ACD

例6 （多选）（2023·东莞模拟）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况. 假设行李包所受的重力为$\boldsymbol{G}$，所受的两个拉力分别为$\boldsymbol{F}_1$，$\boldsymbol{F}_2$，若$\vert\boldsymbol{F}_1\vert=\vert\boldsymbol{F}_2\vert$，且$\boldsymbol{F}_1$与$\boldsymbol{F}_2$的夹角为$\theta$，则以下结论正确的是 （ ）
A. $\vert\boldsymbol{F}_1\vert$的最小值为$\frac{1}{2}\vert\boldsymbol{G}\vert$
B. $\theta$的范围为$[0,\pi]$
C. 当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$\vert\boldsymbol{F}_1\vert=\frac{\sqrt{2}}{2}\vert\boldsymbol{G}\vert$
D. 当$\theta=\frac{2\pi}{3}$时，$\vert\boldsymbol{F}_1\vert=\vert\boldsymbol{G}\vert$

答案： ACD[由题意知， F1+F2+G=0. 可得F+F2=-G，两边同时平方得IG|²=|F11²+|F2|²+2|F！||F2Iaosθ=2|F11²+2|F！|²cosθ, 所以|F11²=$\frac{IG1²}{2(1+cOSθ)}$: 当日=0时，|F11min=$\frac{1}{2}$IG|; 当0=时,|F|1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$IG|; 当日-一=　　时,,|F|=|G|故A,C.D 正确; 当0=π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立， 所以θ∈[0，π)，故B错误.]

跟踪训练3 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度$\boldsymbol{v}_1$的大小$\vert\boldsymbol{v}_1\vert = 10$ km/h，水流的速度$\boldsymbol{v}_2$的大小$\vert\boldsymbol{v}_2\vert = 6$ km/h，如图，设$\boldsymbol{v}_1$和$\boldsymbol{v}_2$所成的角为$\theta(0＜\theta＜\pi)$，若游船从$A$航行到正北方向上位于北岸的码头$B$处，则$\cos\theta$等于 （ ）

A. $-\frac{2}{5}$
B. $-\frac{3}{5}$
C. $-\frac{4}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： B

例1（1）（多选）（2023·武汉模拟）在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是（ ）
A.若$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PA}$，则P是△ABC的垂心
B.若$\overrightarrow{AP}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$，则直线AP必过△ABC的外心
C.若$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$，则O为△ABC的外心
D.若$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\mathbf{0}$，则N是△ABC的重心
（2）（2023·南宁模拟）△ABC的外心O满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{2}\overrightarrow{OC}=\mathbf{0}$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$，则△ABC的面积为（ ）
A.$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$ B.$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ C.$\sqrt{2}$ D.2

答案：
(1)ACD
(2)B　

跟踪训练1（1）在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(3,\sqrt{3})$，且满足$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则$|\overrightarrow{AC}|$等于（ ）
A.2 B.6 C.$\sqrt{3}$ D.$2\sqrt{3}$
（2）在△ABC中，AC = 9，∠A = 60°，点D满足$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{DB}$，AD = $\sqrt{37}$，则BC的长为（ ）
A.$3\sqrt{7}$ B.$3\sqrt{6}$ C.$3\sqrt{3}$ D.6

答案：
(1)D
(2)A