《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1.点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为$\boldsymbol{u}$，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设$\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{a}$，则向量$\overrightarrow{AP}$在直线l上的投影向量$\overrightarrow{AQ}=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}$，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ = $\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^{2}-|\overrightarrow{AQ}|^{2}}=$________________.

答案：

2.点到平面的距离
如图，已知平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$，A是平面$\alpha$内的定点，P是平面$\alpha$外一点.过点P作平面$\alpha$的垂线l，交平面$\alpha$于点Q，则$\boldsymbol{n}$是直线l的方向向量，且点P到平面$\alpha$的距离就是$\overrightarrow{AP}$在直线l上的投影向量$\overrightarrow{QP}$的长度，因此PQ = $\left|\overrightarrow{AP}\cdot\frac{\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{n}|}\right|=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=$________.

答案： $\frac{AP.n|}{|n}$

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
(1)平面$\alpha$上不共线的三点到平面$\beta$的距离相等，则$\alpha//\beta$. （ ）
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度. （ ）
(3)直线l平行于平面$\alpha$，则直线l上各点到平面$\alpha$的距离相等. （ ）
(4)直线l上两点到平面$\alpha$的距离相等，则l平行于平面$\alpha$. （ ）

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×

2.已知直线l过定点A(2，3，1)，且$\boldsymbol{n}=(0，1，1)$为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为 （ ）
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

答案： D

3.(选择性必修第一册P44T14改编)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AB = 1，BC = 2，AA₁ = 3，则异面直线AC与BC₁之间的距离是 （ ）
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{7}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{6}$
D.$\frac{6}{7}$

答案： D

4.设正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则点D₁到平面A₁BD的距离是________.

答案： $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

例1 (2023·连云港模拟)如图，在三棱锥A - BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB = AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE = 2EA.
(1)证明：OA⊥BC；
(2)当AO = 1时，求点E到直线BC的距离.

答案：

(1)证明　因为AB=AD,O为BD 的中点，所以AO⊥BD, 　又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD ∩平面BCD=BD,AOC平面ABD,所以AO⊥平面BCD， 　又BCC平面BCD，所以OA⊥BC. 　
(2)解　取OD的中点F,连接CF，因为△OCD为正三角形， 　所过以点COF作⊥OOMD//CF交BC于点M，则 OM⊥OD, 　所以OM,ODOA两两垂直， 　以点O为坐标原 　点，分别以OM, 　OD,OA所在直线 　　　　　　　　 为建x立空轴间、y直轴角、坐轴标 　系，如图所示， 　则B(0,-1,0),c($\frac{3}{2}$,$\frac{1}{2}$,0), 　E(0.$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$), 　方法一　则BC=($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$,0), 　 BE=(o,$\frac{4}{3}$,$\frac{2}{3}$), 　所以点E到直线BC的距离 　d= 　　 　=　$\sqrt{\frac{20}{9}一\frac{2}{3})}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 　方法二　又BC=($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$,0), 　 BE=(0,$\frac{4}{3}$,$\frac{2}{3}$)， 　所以Icos＜BC,BE＞|=BC.BE|= 　　　　　　　　　　|BC||BEI 2　　=$\frac{\sqrt{15}}{5}$, 　$\sqrt{3}$×$\frac{2\sqrt{5}}{3}$ 　则sin＜BCBE)=$\frac{\sqrt{10}}{5}$， 　所以点E到直线BC的距离为|→BE|sin＜BC,BE)=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$×$\frac{\sqrt{10}}{5}$=$\frac{2√2}{3}$