《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 定理 1：两角分别相等的两个三角形相似.

答案： 分别相等

2. 定理 2：两边成比例且______夹角相等的两个三角形相似.

答案： 成比例;夹角相等

3. 定理 3：三边成比例的两个三角形相似.

答案： 成比例

如图 4-5-1,
(1) 若 $\frac{OA}{OB}=$$\frac{OC}{OD}$,则 $\triangle OAC \backsim \triangle OBD$,$\angle A=$$\angle B$.

(2) 若 $\angle A= \angle B$,则 $\triangle OAC \backsim \triangle OBD$,OA与OB,OC与OD,AC与BD是对应边.
(3) 请你利用定理 3 写一个条件：$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}$,使 $\triangle OAC \backsim \triangle OBD$.

答案：
(1)$\frac{OC}{OD}$;$\angle B$
(2)OA;OB;OC;OD;AC;BD
(3)$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}$

1. 证明两个三角形相似的方法是什么？

答案： 答题卡：
1. 证明两个三角形相似的方法主要有以下几种：
平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三边法：如果两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似。
两边及其夹角法：如果两个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
两角法：如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。

2. 证明两个三角形相似的三个定理的书写格式分别是什么？

答案： 1. 两角分别相等的两个三角形相似：在△ABC与△A'B'C'中，
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴△ABC∽△A'B'C'。
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似：在△ABC与△A'B'C'中，
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，∠A=∠A'，
∴△ABC∽△A'B'C'。
3. 三边成比例的两个三角形相似：在△ABC与△A'B'C'中，
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'。

探究一：
问题 1：观察大小不同且含有 $45^{\circ}$ 角的两个直角三角尺,它们相似吗？含有 $30^{\circ}$ 角的两个直角三角尺相似吗？这两组三角形的三个内角的大小有什么关系？
问题 2：三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
问题 3：如果两个三角形有两对角是对应相等的,那么它们是否一定相似？如果仅有一对呢？
问题 4：利用尺规作图画出 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$,使 $\angle A= \angle A'$,$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}= k$,那么这两个三角形相似吗？$k$ 取不同的值呢？
问题 5：任意画出一个三角形,再画出另一个三角形,使它三边的长都是原三角形对应三边的长的 $k$ 倍,测量这两个三角形的对应角,它们相等吗？这两个三角形相似吗？$k$ 取不同的值时是否还有同样的结论呢？
归纳总结：相似三角形的判定定理：1. 两角对应相等的两个三角形相似；2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；3. 三边成比例的两个三角形相似。

答案： 问题1：含有45°角的两个直角三角尺相似；含有30°角的两个直角三角尺相似；这两组三角形的三个内角对应相等。
问题2：一定相似。
问题3：两对角对应相等时一定相似；仅有一对角对应相等时不一定相似。
问题4：相似；k取不同值时仍相似。
问题5：对应角相等；相似；k取不同值时结论同样成立。
归纳总结：相似三角形的判定定理：1. 两角对应相等的两个三角形相似；2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；3. 三边成比例的两个三角形相似。

探究二：探索相似三角形判定定理的证明
如图 4-5-2,

1. 相似三角形判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图 4-5-2,在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中,$\angle A= \angle A'$,$\angle B= \angle B'$. 求证：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$.
证明思路：首先在 $\triangle ABC$ 的边 $AB$(或它的延长线)上截取AD=A'B',作DE//BC交AC于点E,然后根据相似三角形预备定理证明△ADE∽△ABC；接着证明△ADE≌△A'B'C'.
2. 相似三角形判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图 4-5-2,在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中,$\angle A= \angle A'$,$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}$. 求证：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$.
证明思路：首先在 $\triangle ABC$ 的边 $AB$(或它的延长线)上截取AD=A'B',作DE//BC交AC于点E,然后根据相似三角形预备定理证明△ADE∽△ABC；接着证明△ADE≌△A'B'C'.
3. 相似三角形判定定理 3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图 4-5-2,在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中,$\frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{B'C'}= \frac{AC}{A'C'}$. 求证：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$.
证明思路：首先在 $\triangle ABC$ 的边 $AB$,$AC$(或它们的延长线)上分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE,然后根据SSS证明△ADE≌△A'B'C'；接着证明△ADE∽△ABC.
归纳总结：相似三角形的判定定理证明通常通过构造全等三角形，结合相似三角形预备定理证明其与原三角形相似，进而得出结论.

答案： 1. 分别相等；AD=A'B'；DE//BC交AC于点E；相似三角形预备定理；△ADE∽△ABC；△ADE≌△A'B'C'
2. 成比例；夹角相等；AD=A'B'；DE//BC交AC于点E；相似三角形预备定理；△ADE∽△ABC；△ADE≌△A'B'C'
3. 成比例；AD=A'B'；AE=A'C'；DE；SSS；△ADE≌△A'B'C'；△ADE∽△ABC
归纳总结：相似三角形的判定定理证明通常通过构造全等三角形，结合相似三角形预备定理证明其与原三角形相似，进而得出结论