《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

5. 如图,E,F 分别是矩形 ABCD 的边 AD,CD 上的点,且 AE= DF,增加以下条件：①DE= CF；②AF⊥BE；③∠DAF= ∠ABE；④AF= BE. 其中能使矩形 ABCD 为正方形的有(A).

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

答案： A

6. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= BC,D 是 AB 的中点,分别过点 D 作 DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为 E,F. 求证：四边形 CEDF 是正方形.

答案：
证明:如图，连接CD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠CED=90°,∠CFD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴四边形CEDF是矩形.
∵AC=BC,D是AB的中点,
∴CD平分∠ACB.
∵DE⊥AC,DF⊥CB,
∴DE=DF,
∴四边形CEDF是正方形.
　　　　　

7. 如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,AD= CD,E 是对角线 BD 上一点,且 EA= EC.
(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；
(2)如果 BE= BC,且∠CBE:∠BCE= 2:3,求证：四边形 ABCD 是正方形.

答案： 证明:
(1)在△ADE与△CDE中,
　　$\left\{\begin{array}{l} AD=CD,\\ DE=DE,\\ EA=EC,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CDE,
∴∠ADE=∠CDE.
∵AD//BC,
∴∠ADE=∠CBD,
∴∠CDE=∠CBD,
∴BC=CD.
∵AD=CD,
∴BC=AD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)
∵BE=BC,
∴∠BCE=∠BEC.
∵∠CBE:∠BCE=2:3,
∴∠CBE=180°×$\frac{2}{2+3+3}$=45°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABE=45°,
∴∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.

8. 如图,E 是矩形 ABCD 的边 BC 的中点,P 是边 AD 上的一动点,PM⊥AE,PN⊥DE,垂足分别为 M,N.
(1)当矩形 ABCD 的边 AB,AD 满足什么条件时,四边形 PNEM 为矩形？请证明.
(2)在(1)的条件下,动点 P 运动到什么位置时,矩形 PNEM 为正方形？为什么？

答案： 解:
(1)当AD=2AB时，四边形PNEM是矩形.
　　证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD.
∵E是BC的中点,
∴AB=BE=EC=CD,
∴△ABE,△DCE均是等腰直角三角形,
∴∠AEB=∠DEC=45°,
∴∠AED=90°.在四边形PNEM中,
∵∠PME=∠MEN=∠ENP=90°,
∴四边形PNEM是矩形.
(2)当P运动到AD的中点时，矩形PNEM为正方形.
　　理由:由
(1)可得∠BAE=∠CDE=45°,
∴∠MAP=∠NDP=45°.
　　又
∵∠AMP=∠DNP=90°,AP=DP,
∴Rt△AMP≌Rt△DNP,
∴PM=PN,
∴矩形PNEM为正方形.

9. 如图,在四边形纸片 ABCD 中,∠B= ∠D= 90°,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,将 AB,AD 分别沿 AE,AF 折叠,点 B,D 恰好都和点 G 重合,∠EAF= 45°.
(1)求证：四边形 ABCD 是正方形；
(2)若 EC= FC= 1,求 AB 的长.

答案：
(1)证明:由题意得，∠BAE=∠EAG,∠DAF=∠FAG,
∴∠BAD=2∠EAF=90°.
∵∠B=∠D=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=AG,AD=AG,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是正方形.
(2)解:
∵EG=BE,FG=DF,
∴EF=BE+DF.
∵EC=FC=1,
∴EF=$\sqrt{2}$,
∴BE=DF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴AB=BC=BE+EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1.

1. 如图,正方形 ABCD 的边长为 10 cm,点 E,F,G,H 分别从点 A,B,C,D 出发,以 2 cm/s 的速度同时分别向点 B,C,D,A 运动.
(1)在运动的过程中,四边形 EFGH 是何种四边形？请说明理由.
(2)运动多少秒后,四边形 EFGH 的面积为$ 52 cm^2？$

答案：
(1)解:四边形EFGH为正方形.理由如下:设运动时间为t s,则AE=BF=CG=DH=2t cm,在正方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,
∴BE=CF=DG=AH.
　　在△AEH和△BFE中,$\left\{\begin{array}{l} AE=BF,\\ ∠A=∠B,\\ AH=BE,\end{array}\right. $
∴△AEH≌△BFE.
　　同理可证:△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴EH=FE=GF=HG,
∴四边形EFGH为菱形.
∵△AEH≌△BFE,
∴∠AEH=∠BFE,而∠BFE+∠BEF=90°,
∴∠AEH+∠BEF=90°,
∴∠HEF=90°,
∴四边形EFGH为正方形.
(2)设运动的时间为x s,
　　则AE=BF=CG=DH=2x cm.
∵AB=BC=CD=DA=10 cm,
∴BE=CF=DG=AH=(10 - 2x)cm.
　　由勾股定理,得
　　${S}_{四边形EFGH}=E{H}^{2}=A{E}^{2}+A{H}^{2}=(2x{)}^{2}+(10 - 2x{)}^{2}=8{x}^{2}-40x+100$.当${S}_{四边形EFGH}=52\;c{m}^{2}$时,$8{x}^{2}-40x+100=52$,即${x}^{2}-5x+6=0$,解得${x}_{1}=2$,${x}_{2}=3$.当x = 2时,AE=2x=2×2=4(cm)＜10(cm);当x = 3时,AE=2x=2×3=6(cm)＜10(cm).
∴x = 2或x = 3均符合题意.故运动2 s或3 s后,四边形EFGH的面积为52 cm².