《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

6. 如图,在梯形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,$BD$ 与 $AC$ 交于点 $O$,过点 $O$ 的直线分别交 $AB$,$CD$ 于点 $E$,$F$,且 $EF // BC$. 若 $AD = 12$,$BC = 20$,求 $EF$ 的长.

答案： 解:
∵AD//BC，
∴△OAD∽△OCB。
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
∵EF//BC，
∴△OAE∽△CAB，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{OA}{CA}=\frac{3}{8}$。
同理$\frac{OF}{BC}=\frac{OD}{BD}=\frac{3}{8}$。
∴EF = 2×$\frac{3}{8}$×20 = 15。

1. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 6$,在 $\triangle ABC$ 内作正方形,使正方形的四个顶点都在三角形的边或顶点上,求这个正方形的边长.

答案：
解:直角三角形内接正方形有两种不同的位置，如图所示.
(1) 如图①，作CP⊥AB于点P，交GF于点H。
∵GF//AB，
∴CH⊥GF，△CGF∽△CAB，
∴$\frac{GF}{AB}=\frac{CH}{CP}$。
∵∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，
∴由勾股定理，得AB = 10。
∵AC·BC = AB·CP，
∴CP = $\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$。
设GF = x，则CH = $\frac{24}{5}-x$。
∴$\frac{x}{10}=\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$，
∴x = $\frac{120}{37}$。
(2) 如图②，
∵DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}$。
设CF = x，则DE = x，BE = 6 - x。
∴$\frac{x}{8}=\frac{6 - x}{6}$，
∴x = $\frac{24}{7}$。
综上可知，△ABC内接正方形的边长为$\frac{120}{37}$或$\frac{24}{7}$。

通过阅读教材，你了解了利用相似三角形测量物体的高度有几种方法？
(1)利用阳光下的影子来测量.
此时利用在同一时刻物高与影长成正比例，构造相似三角形解决问题.
(2)利用标杆来测量.
此时利用视线、标杆的顶端和旗杆的顶端，构造相似三角形解决问题.
(3)利用镜子的反射来测量.
此时利用平面镜中入射角和反射角相等，构造相似三角形解决问题.

答案：
(1)阳光下的影子;影长
(2)标杆;标杆的顶端;旗杆的顶端
(3)镜子的反射;入射角;反射角

1. 某广场占地面积约为$ 800 000 m^2,$若按比例尺 1:2 000 缩小后,其面积约为0.2$m^2.$

答案： 0.2

2. 已知一棵树的影长是 30 m,同一时刻一根长 1.5 m 的标杆的影长是 3 m,则这棵树的高度是15 m.

答案： 15 m