《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 两边成比例的两个三角形不一定(填“一定”或“不一定”)相似.

答案： 不一定

2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 成比例;夹角

1. 判断如图 4-4-10 所示的两个三角形是否相似,并说明理由.

答案： 相似。理由：在△ABC与△EDC中，$\frac{BC}{DC}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{EC}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}$，且∠ACB=∠ECD，故△ABC∽△EDC。

2. 如图 4-4-11 所示的两个三角形是否相似？

答案： 解：设小三角形三边为$a = 2$，$b = 1$，大三角形三边为$A = 4$，$B = 2$。
对于两个三角形，已知一个角相等（都为$105^{\circ}$），再看夹这个角的两边对应成比例情况：
$\frac{a}{A}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{b}{B}=\frac{1}{2}$，即$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}$，且夹角相等。
根据三角形相似判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），所以这两个三角形相似。
故答案为：相似。

如果两个三角形有两边成比例,它们一定相似吗？如果不一定相似,那么需要添加什么条件,你有几种添加方法？

答案： 不一定相似；添加条件有两种，分别是两边的夹角相等或第三边成比例。

探究一：两边成比例的两个三角形是否相似
画出△ABC 和△A'B'C',使$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}= k$.
问题 1：测量 BC,B'C'的长,并求$\frac{BC}{B'C'}$的值,$\frac{BC}{B'C'}= \frac{AC}{A'C'}$吗？
问题 2：测量∠ABC,∠ACB,∠BAC,∠A'B'C',∠A'C'B',∠B'A'C'的大小,你发现了什么？
问题 3：△ABC 和△A'B'C'一定相似吗？说说你的理由.
问题 4：改变 k 值的大小,问题 1,2,3 的结论还相同吗？
归纳总结：两边成比例的两个三角形不一定相似，因为还需要考虑夹角是否相等。

答案： 答题卡作答：
探究一：
问题 1：
通过测量，得到$BC$和$B^{\prime}C^{\prime}$的长度。
计算得出$\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}$的值。
一般情况下，$\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}$不一定等于$\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}$（或具体给出是否相等的测量结果，此处假设未具体测量，故给出一般性结论）。
问题 2：
通过测量，得到$\angle ABC$，$\angle ACB$，$\angle BAC$，$\angle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$，$\angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}$，$\angle B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}$的大小。
可能发现对应角并不一定都相等（或具体给出哪些角相等，哪些不相等，此处假设未具体测量，故给出一般性结论）。
问题 3：
$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$不一定相似。
理由：两边对应成比例，但夹角不一定相等，因此不满足三角形相似的条件。
问题 4：
改变$k$值的大小，问题 1, 2, 3 的结论通常仍然相同，即两边成比例并不能保证两个三角形相似。
归纳总结：
两边成比例的两个三角形不一定相似，因为还需要考虑夹角是否相等。