《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

9. 线段甲的长度是线段乙长度的 $\frac{3}{5}$,则线段甲和乙的长度之比是$\frac{3}{5}$(或$3:5$)。

答案： $\frac{3}{5}$(或$3:5$)

10. 不为 0 的四个实数 $ a $,$ b $,$ c $,$ d $ 满足 $ ab = cd $,将其改写成比例式错误的是(D)。
A.$\frac{a}{c}= \frac{d}{b}$
B.$\frac{c}{a}= \frac{b}{d}$
C.$\frac{d}{a}= \frac{b}{c}$
D.$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$

答案： D

11. 若 $ 2a = 3b $,则 $ (a - b):(a + b) $ 的值是$\frac{1}{5}$。

答案： $\frac{1}{5}$

12. 如果 $ x:y:z = 1:3:5 $,且 $ x - 3y + z\neq 0 $,那么 $\frac{x + 3y - z}{x - 3y + z}= $$-\frac{5}{3}$。

答案： $-\frac{5}{3}$

13. 已知 $ 7(a - b) = 3a $,则 $\frac{a}{b}= $$\frac{7}{4}$。

答案： $\frac{7}{4}$

14. 如果 $\frac{a}{b}= \frac{2}{3}$,且 $ a\neq 2 $,$ b\neq 3 $,那么 $\frac{a - b + 1}{a + b - 5}= $$-\frac{1}{5}$。

答案： $-\frac{1}{5}$

15. 已知线段 $ x $,$ y $,且 $ (x + y):(x - y) = a:b $,求 $ x:y $。

答案： 解:$\because (x+y):(x-y)=a:b$,$\therefore b(x+y)=a(x-y)$,$\therefore bx+by=ax-ay$,即$(a-b)x=(a+b)y$,$\therefore x:y=(a+b):(a-b)$.

16. 若 $ a:b:c = 2:3:4 $,且 $ a + b - c = 5 $,求 $ a - b $ 的值。

答案： 解:设$a=2k$,$b=3k$,$c=4k$,其中$k≠0$,则$2k+3k-4k=5$,$\therefore k=5$,$\therefore a-b=-5$.(或由已知得$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$,$\because \frac{a+b-c}{2+3-4}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$,由$a+b-c=5$得$a=10$,$b=15$,$\therefore a-b=-5$)

17. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,$ CD\perp AB $,垂足为 $ D $,已知 $ AC = 3 $,$ BC = 4 $。
(1) 线段 $ AD $,$ CD $,$ CD $,$ BD $ 是不是成比例线段？请说明理由。
(2) 在这个图形中,能否再找出其他成比例的四条线段？如果能,请至少写出两组。

答案： 1. （1）
首先，根据勾股定理求$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，即$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
然后，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，可得$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}$，把$AC = 3$，$BC = 4$，$AB = 5$代入，得$CD=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
接着，在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$，$AC = 3$，$CD=\frac{12}{5}$，则$AD=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{225 - 144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$。
再求$BD$的长度，$BD=AB - AD$，$AB = 5$，$AD=\frac{9}{5}$，所以$BD=5-\frac{9}{5}=\frac{25 - 9}{5}=\frac{16}{5}$。
最后，判断是否成比例：
计算$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{16}{5}}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$。
因为$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，所以$AD$，$CD$，$CD$，$BD$是成比例线段。
2. （2）
第一组：
因为$\triangle ABC\sim\triangle ACD$（$\angle A=\angle A$，$\angle ACB=\angle ADC = 90^{\circ}$），所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$（对应边成比例）。
第二组：
因为$\triangle ABC\sim\triangle CBD$（$\angle B=\angle B$，$\angle ACB=\angle CDB = 90^{\circ}$），所以$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$。
综上，（1）$AD$，$CD$，$CD$，$BD$是成比例线段，理由：通过勾股定理和三角形面积公式求出$AD=\frac{9}{5}$，$CD=\frac{12}{5}$，$BD=\frac{16}{5}$，且$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$；（2）能，如$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$。

1. 若 $\frac{a + 2}{3}= \frac{b}{4}= \frac{c + 5}{6}$,且 $ 2a - b + 3c = 1 $,试求 $ a:b:c $。

答案： $1:4:1$

2. 如图,一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后,剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等,求原矩形的长与宽的比。

答案： 解:设原矩形的长是$a$,宽是$b$,则$DE=CF=a-b$.已知$\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{CF}$,即$\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}$,整理得$a^{2}-ab-b^{2}=0$,两边同时除以$b^{2}$,得$(\frac{a}{b})^{2}-\frac{a}{b}-1=0$,解得$\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$(舍去),$\therefore$原矩形的长与宽的比为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.