《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

5. 如图,在△ABC 中,∠B= ∠AED,AB= 5,AD= 3,CE= 6,则 AE= $2\sqrt{6}-3$.

答案： $2\sqrt{6}-3$

6. 如图,在△ABC 中,BC= 24,D,F 是 AB 的三等分点,E,G 是 AC 的三等分点,则 DE+FG+BC= 48.

答案： 48

7. 如图,在△ABC 中,DE//BC,EF//AB,已知△ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9,求△ABC 的面积.

答案： 解：$\because DE// BC,EF// AB,$
$\therefore \angle C=\angle AED,\angle FEC=\angle A.$
$\therefore \triangle EFC\backsim \triangle ADE.$
$\because S_{\triangle ADE}=4,S_{\triangle EFC}=9,$
$\therefore \left(\frac{EC}{AE}\right)^2=\frac{9}{4}.$
$\therefore \frac{EC}{AE}=\frac{3}{2}.\therefore \frac{EC}{AC}=\frac{3}{5}.$
$\therefore \frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{EC}{AC}\right)^2=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}.$
$\therefore S_{\triangle ABC}=9× \frac{25}{9}=25.$

8. 如图,C,D 在线段 AB 上,△PCD 是等边三角形.
(1)当 AC,CD,DB 满足什么关系时,△ACP∽△PDB？
(2)当△ACP∽△PDB 时,求∠APB 的度数.

答案： 1. （1）
解：
因为$\triangle PCD$是等边三角形，所以$\angle PCD=\angle PDC = 60^{\circ}$，$PC = CD=PD$。
则$\angle ACP=\angle PDB = 120^{\circ}$。
若$\triangle ACP\sim\triangle PDB$，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），需要$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{DB}$。
又因为$PC = CD$，$PD = CD$，所以当$CD^{2}=AC\cdot DB$时，$\triangle ACP\sim\triangle PDB$。
2. （2）
解：
当$\triangle ACP\sim\triangle PDB$时，$\angle APC=\angle PBD$。
因为$\angle PDB = 120^{\circ}$，在$\triangle PDB$中，$\angle BPD+\angle PBD=60^{\circ}$，即$\angle BPD+\angle APC = 60^{\circ}$。
又因为$\angle CPD = 60^{\circ}$。
所以$\angle APB=\angle APC+\angle CPD+\angle BPD=( \angle APC+\angle BPD)+\angle CPD$。
把$\angle APC+\angle BPD = 60^{\circ}$，$\angle CPD = 60^{\circ}$代入得$\angle APB=120^{\circ}$。
综上，（1）当$CD^{2}=AC\cdot DB$时，$\triangle ACP\sim\triangle PDB$；（2）$\angle APB$的度数为$120^{\circ}$。

1. 如图,在△ABC 中,BA= BC= 20 cm,AC= 30 cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 以每秒 4 cm 的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 C 出发,沿 CA 以每秒 3 cm 的速度向点 A 运动,设运动时间为 x s.
(1)当 x 为何值时,PQ//BC？
(2)当 $\frac{S_{\triangle BCQ}}{S_{\triangle ABC}}= \frac{1}{3}$ 时,求 $\frac{S_{\triangle BPQ}}{S_{\triangle ABC}}$ 的值.

答案： 解：
(1)由题意，得 $AP=4x\ cm,AQ=AC-CQ=(30-3x)cm.$
$\because PQ// BC,$
$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$,即 $\frac{4x}{20}=\frac{30-3x}{30}$,
解得 $x=\frac{10}{3}$,即当 $x=\frac{10}{3}$ 时，$PQ// BC$.
(2)$\because \frac{S_{\triangle BQC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{3}$,
$\therefore \frac{QC}{AC}=\frac{1}{3}$,即 $\frac{3x}{30}=\frac{1}{3}$,解得 $x=\frac{10}{3}$.
$\therefore BP=AB-AP=20-4x=\frac{20}{3}\ (cm).$
$\therefore \frac{S_{\triangle BPQ}}{S_{\triangle ABQ}}=\frac{BP}{AB}=\frac{1}{3}.$
$\because S_{\triangle ABQ}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC},\therefore \frac{S_{\triangle BPQ}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2}{9}.$