《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究二：探索相似多边形的性质
1. 相似多边形的周长比等于相似比.
2. 相似多边形的面积比等于相似比的平方.
你会证明吗？试试看.
归纳总结：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

答案： 1. 相似多边形的周长比等于相似比。
2. 相似多边形的面积比等于相似比的平方。
证明：
设两个相似多边形的相似比为$k$，对应边的长度分别为$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，且$\frac{a_i}{b_i} = k$，其中$i = 1, 2, \ldots, n$。
(1) 周长比：
相似多边形的周长分别为$P_1 = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$和$P_2 = b_1 + b_2 + \ldots + b_n$。
因此，周长比$\frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{b_1 + b_2 + \ldots + b_n} = k$。
(2) 面积比：
考虑两个相似三角形的情况（多边形可由三角形推广得到），设两个相似三角形的底和高分别为$a, h$和$b, k \cdot h$（其中$k$为相似比）。
三角形的面积$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$。
因此，面积比$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} × a × h}{\frac{1}{2} × b × k \cdot h} = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = k^2$。
对于多边形，可以将其划分为多个三角形，并应用上述结论，最终得到面积比也为$k^2$。
归纳总结：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

【例 1】已知△ABC∽△A′B′C′,它们的周长分别为 60 和 72,且 AB= 15,B′C′= 24,求 BC,AC,A′B′,A′C′的长.

答案： $BC=20,AC=25,A'B'=18,A'C'=30.$

【例 2】如图 4-7-2,把△ABC 沿 AB 平移到△A′B′C′的位置,它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半. 若 AB= $\sqrt{2}$,则此三角形移动的距离 AA′是多少？

答案： $\sqrt{2}-1$.

1. 若两个相似多边形的对应边之比为 5:2,则它们的周长比是5:2,面积比是25:4.

答案： $5:2;25:4$

2. △ACD∽△A′C′D′,BD 和 B′D′是对应中线. 已知 $\frac{AC}{A'C'}= \frac{3}{2}$,B′D′= 4,则 BD 的长为6.

答案： 6

3. 若两个相似多边形的面积比是 16:25,则它们的周长比等于4:5.

答案： $4:5$

4. 两个相似三角形的一组对应边的长分别是 19 和 15,它们周长的差是 32,则这两个三角形的周长分别为(C).
A.77,45
B.76,44
C.152,120
D.120,88

答案： C

1. 用一个 4 倍放大镜照△ABC,下列说法错误的是(A).
A.△ABC 放大后,∠B 是原来的 4 倍
B.△ABC 放大后,边 AB 是原来的 4 倍
C.△ABC 放大后,周长是原来的 4 倍
D.△ABC 放大后,面积是原来的 16 倍

答案： A

2. 要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知甲的三边分别长 50 cm,60 cm,80 cm,乙的一边长 20 cm,那么符合条件的乙共有(C).
A.1 种
B.2 种
C.3 种
D.4 种

答案： C

3. 将一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的 4 倍,那么周长扩大为原来的(B).
A.4 倍
B.2 倍
C.16 倍
D.12 倍

答案： B

4. 已知 a,b,c 为△ABC 的三边长,且 a:b:c= 2:3:4,则△ABC 各边上的高之比为6:4:3.

答案： $6:4:3$