《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

3. 我们把 $ b^2 - 4ac $ 叫做什么？通常用什么字母来表示？

答案： 一元二次方程根的判别式；$\Delta$

1. 用公式法解一元二次方程的基本思路：
(1)先将方程转化为$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的形式；(2)确定a,b,c的值；(3)当$b^{2}-4ac≥0$时,把 $ a $,$ b $,$ c $ 的值代入公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$求解。

答案：
(1)$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$；
(2)a,b,c；
(3)$b^{2}-4ac≥0$；$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 用配方法解一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 时：
$ \because a \neq 0 $,方程两边同时除以 $ a $,得$x^{2}+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$。配方,得$x^{2}+\frac {b}{a}x+(\frac {b}{2a})^{2}-(\frac {b}{2a})^{2}+\frac {c}{a}=0$,即$(x+\frac {b}{2a})^{2}-\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}=0$,移项,得$(x+\frac {b}{2a})^{2}=\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。当$b^{2}-4ac≥0$时,原方程化为两个一元一次方程$x+\frac {b}{2a}=\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$和$x+\frac {b}{2a}=-\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$,$ \therefore x_1 = $$\frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$,$ x_2 = $$\frac {-b-\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$。

答案： $x^{2}+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$；$x^{2}+\frac {b}{a}x+(\frac {b}{2a})^{2}-(\frac {b}{2a})^{2}+\frac {c}{a}=0$；$(x+\frac {b}{2a})^{2}-\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}=0$；$(x+\frac {b}{2a})^{2}=\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}$；$b^{2}-4ac≥0$；$x+\frac {b}{2a}=\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$；$x+\frac {b}{2a}=-\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$；$\frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$；$\frac {-b-\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

1. 一元二次方程的求根公式是怎么得到的？

答案： 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$），求根公式推导如下：
1. 移项：$ax^2 + bx = -c$
2. 二次项系数化为1：$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
3. 配方：$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$，即$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
4. 当$b^2 - 4ac \geq 0$时，开方：$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
5. 解得：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
结论：一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的求根公式为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（$b^2 - 4ac \geq 0$）。

2. 如何利用公式法解一元二次方程？

答案： 设一元二次方程为 $ax^{2} + bx + c = 0$（$a \neq 0$）。
计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根，为 $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$。
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根，为 $x_{1} = x_{2} = -\frac{b}{2a}$。
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。

探究一：一元二次方程的根的情况
一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 的根的情况是怎样的？
问题 1：求根公式中的 $ a $,$ b $,$ c $ 满足什么条件？
问题 2：当 $ b^2 - 4ac ＞ 0 $,$ b^2 - 4ac = 0 $,$ b^2 - 4ac ＜ 0 $ 时,方程两个根的情况分别是怎样的？

答案： 问题1：$b^{2}-4ac≥0$. 问题2：当$b^{2}-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^{2}-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^{2}-4ac＜0$时，方程没有实数根.

探究二：用公式法求解一元二次方程
问题 1：利用求根公式解一元二次方程时,首先要把方程化为$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的形式,确定a,b,c的值,当$b^{2}-4ac≥0$时,把 $ a $,$ b $,$ c $ 的值代入公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$求解。
问题 2：方程 $ 3x^2 - 8 = 7x $ 化为一般形式是$3x^{2}-7x-8=0$,$ a = $3,$ b = $-7,$ c = $-8,方程的根 $ x_1 = $$\frac {7+\sqrt {145}}{6}$,$ x_2 = $$\frac {7-\sqrt {145}}{6}$。

答案： 问题1：$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$；a,b,c；$b^{2}-4ac≥0$；$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$ 问题2：$3x^{2}-7x-8=0$；3；-7；-8；$\frac {7+\sqrt {145}}{6}$；$\frac {7-\sqrt {145}}{6}$（前4个空答案不唯一）

归纳总结：
1. 用公式法解一元二次方程都要将方程转化为$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的形式,确定a,b,c的值,当$b^{2}-4ac≥0$时,把 $ a $,$ b $,$ c $ 的值代入公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$求解。
2. 对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) $：当 $ b^2 - 4ac ＞ 0 $ 时,方程有两个不相等的实数根；当 $ b^2 - 4ac = 0 $ 时,方程有两个相等的实数根；当 $ b^2 - 4ac ＜ 0 $ 时,方程没有实数根。

答案： 1.$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$；a,b,c；$b^{2}-4ac≥0$；$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

【例 1】解方程：
(1) $ x^2 + 8x - 9 = 0 $； (2) $ 4x^2 + 1 = 4x $。

答案： 1. 对于方程$x^{2}+8x - 9 = 0$：
解：
方法一（因式分解法）：
对$x^{2}+8x - 9$进行因式分解，根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a = 9$，$b=-1$，则$x^{2}+8x - 9=(x + 9)(x - 1)$。
原方程$x^{2}+8x - 9 = 0$可化为$(x + 9)(x - 1)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x+9 = 0$或$x - 1 = 0$。
解得$x_{1}=-9$，$x_{2}=1$。
方法二（配方法）：
移项得$x^{2}+8x=9$。
配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数$8$，一半的平方为$(\frac{8}{2})^{2}=16$，则$x^{2}+8x + 16=9 + 16$。
即$(x + 4)^{2}=25$。
开平方得$x + 4=\pm5$。
当$x + 4 = 5$时，$x=1$；当$x + 4=-5$时，$x=-9$。
方法三（公式法）：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 8$，$c=-9$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
计算$\Delta=8^{2}-4×1×(-9)=64 + 36=100$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得$x=\frac{-8\pm\sqrt{100}}{2×1}=\frac{-8\pm10}{2}$。
当$x=\frac{-8 + 10}{2}$时，$x = 1$；当$x=\frac{-8-10}{2}$时，$x=-9$。
2. 对于方程$4x^{2}+1 = 4x$：
解：
移项化为一般形式$4x^{2}-4x + 1 = 0$。
方法一（因式分解法）：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = 2x$，$b = 1$，$4x^{2}-4x + 1=(2x - 1)^{2}$。
原方程$4x^{2}-4x + 1 = 0$可化为$(2x - 1)^{2}=0$。
解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
方法二（配方法）：
方程两边同时除以$4$得$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$。
配方：$x^{2}-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^{2}$。
所以$(x - \frac{1}{2})^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
方法三（公式法）：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 4$，$b=-4$，$c = 1$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
计算$\Delta=(-4)^{2}-4×4×1=16 - 16=0$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得$x=\frac{4\pm\sqrt{0}}{2×4}=\frac{4\pm0}{8}$。
解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
综上，（1）$x_{1}=-9$，$x_{2}=1$；（2）$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。

【例 2】不解方程,判断下列方程根的情况。
(1) $ 3x^2 - 9x + 2 = 0 $； (2) $ 2x^2 + 6 = 7x $。

答案： 1. 对于方程$3x^{2}-9x + 2 = 0$：
解：在一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$中，判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
对于方程$3x^{2}-9x + 2 = 0$，其中$a = 3$，$b=-9$，$c = 2$。
则$\Delta=(-9)^{2}-4×3×2$
先计算$(-9)^{2}=81$，$4×3×2 = 24$。
所以$\Delta=81 - 24=57$。
因为$\Delta = 57＞0$，所以方程$3x^{2}-9x + 2 = 0$有两个不相等的实数根。
2. 对于方程$2x^{2}+6 = 7x$：
解：先将方程化为一般形式$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，$2x^{2}-7x + 6 = 0$。
这里$a = 2$，$b=-7$，$c = 6$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，即$\Delta=(-7)^{2}-4×2×6$。
先计算$(-7)^{2}=49$，$4×2×6 = 48$。
所以$\Delta=49 - 48 = 1$。
因为$\Delta=1＞0$，所以方程$2x^{2}-7x + 6 = 0$（即$2x^{2}+6 = 7x$）有两个不相等的实数根。
综上，（1）方程$3x^{2}-9x + 2 = 0$有两个不相等的实数根；（2）方程$2x^{2}+6 = 7x$有两个不相等的实数根。