《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 在菱形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O.若∠OBC = $\frac{1}{2}$∠BAC,则菱形的四个内角的度数分别为60°,120°,60°,120°.

答案： 60°,120°,60°,120°

2. 若菱形的两条对角线长的比为 3:4,且周长为 20 cm,则它的一组对边的距离等于$\frac{24}{5}$cm,它的面积等于24$cm^2.$

答案： $\frac{24}{5}$;24

3. 在菱形 ABCD 中,∠BAD = 120°,AB = 10 cm,则 AC = 10 cm,BD = 10$\sqrt{3}$ cm.

答案： 10;10$\sqrt{3}$

如何理解菱形的性质定理和判定定理的联系与区别？

答案： 联系：性质定理和判定定理均围绕菱形的核心特征（如边相等、对角线垂直）展开，性质是菱形具有的特征，判定是满足这些特征可确定为菱形，二者逻辑上互逆。区别：性质定理以“四边形是菱形”为前提，结论是边、角、对角线的关系；判定定理以边、角、对角线满足特定条件为前提，结论是“四边形是菱形”，作用分别为已知菱形推导结论和证明四边形是菱形。

【例 1】如图 1 - 1 - 11,已知菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,延长 AB 至点 E,使 BE = AB,连接 CE.
(1)求证：BD = EC；
(2)若∠E = 60°,求∠BAO 的度数.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = CD$，$AB// CD$。
又因为$BE = AB$，所以$BE = CD$。
因为$BE// CD$（$AB// CD$，$BE$是$AB$的延长线），根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$BECD$是平行四边形。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，所以$BD = EC$。
2. （2）解：
因为四边形$BECD$是平行四边形，所以$BD// CE$。
所以$\angle ABO=\angle E = 60^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，即$\angle AOB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABO$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle BAO+\angle ABO+\angle AOB = 180^{\circ}$。
已知$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle ABO = 60^{\circ}$，则$\angle BAO=180^{\circ}-\angle AOB - \angle ABO$。
所以$\angle BAO=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
综上，（1）得证$BD = EC$；（2）$\angle BAO$的度数为$30^{\circ}$。

【例 2】如图 1 - 1 - 12,在四边形 ABCD 中,AB = AD,BD 平分∠ABC,AC⊥BD,垂足为 O.
(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；
(2)若 CD = 3,BD = $2\sqrt{5}$,求四边形 ABCD 的面积.

注意：我们关注结果是否正确的同时,也要关注过程书写是否有条理、理由是否充分.

答案：
(1)证明:
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠CBD.
∵AC⊥BD,AB=AD,
∴OB=OD.在△AOD 与△COB 中,∠AOD=∠COB,OD=OB,∠ADO=∠CBO,
∴△AOD≌△COB,
∴OA=OC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又
∵AC⊥BD,
∴四边形 ABCD 是菱形.
(2)解:
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$,
∴OC=$\sqrt{CD^2-OD^2}$=2,
∴AC=2OC=4,
∴$S_{菱形ABCD}$=$\frac{1}{2}$AC·BD=4$\sqrt{5}$.

1. 下列命题是真命题的是(C).
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
C.菱形是对角线互相垂直平分的四边形
D.菱形的对角线相等

答案： C

2. 菱形的周长为 4,一个内角为 60°,则较短的对角线的长为(C).
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$

答案： C

3. 如图 1 - 1 - 13,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 AC = 8,BD = 6,过点 O 作 OH⊥AB,垂足为 H,则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于$\frac{12}{5}$.

答案： $\frac{12}{5}$