《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

4. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$E$,$F$ 分别是 $AO$,$AD$ 的中点. 若 $AB = 6$,$BC = 8$,则 $EF = $$\frac{5}{2}$.

答案： $\frac{5}{2}$

5. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D$,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$BC$,$CA$ 的中点. 若 $CD = 5$ cm,则 $EF = $5 cm.

答案： 5 cm

6. 如图,$O$ 是矩形 $ABCD$ 对角线的交点,$AE$ 平分 $\angle BAD$,$\angle AOD = 120^{\circ}$,求 $\angle AEO$ 的度数.

答案： 1. 首先，根据矩形的性质：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OB$，$\angle BAD=\angle ABC = 90^{\circ}$，$AD// BC$。
又因为$AE$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAE=\angle EAD = 45^{\circ}$。
由于$AD// BC$，则$\angle AEB=\angle EAD = 45^{\circ}$，所以$\triangle ABE$是等腰直角三角形，即$AB = BE$。
已知$\angle AOD = 120^{\circ}$，根据对顶角相等，$\angle AOB = 60^{\circ}$。
2. 然后，判断$\triangle AOB$的形状：
因为$OA = OB$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$\triangle AOB$是等边三角形。
那么$AB = OB$，$\angle ABO = 60^{\circ}$。
3. 接着，求$\angle OBE$的度数：
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle ABO = 60^{\circ}$，所以$\angle OBE=\angle ABC-\angle ABO=90 - 60=30^{\circ}$。
又因为$AB = BE$，$AB = OB$，所以$OB = BE$。
4. 最后，求$\angle BEO$和$\angle AEO$的度数：
在$\triangle OBE$中，根据等腰三角形的性质，$\angle BEO=\angle BOE$。
由三角形内角和定理$\angle BEO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle OBE)$，把$\angle OBE = 30^{\circ}$代入，得$\angle BEO=\frac{1}{2}(180 - 30)=75^{\circ}$。
因为$\angle AEB = 45^{\circ}$，所以$\angle AEO=\angle BEO-\angle AEB$。
则$\angle AEO=75 - 45 = 30^{\circ}$。
综上，$\angle AEO$的度数是$30^{\circ}$。

7. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 8$ cm,$BC = 10$ cm,在边 $CD$ 上取一点 $E$,将 $\triangle ADE$ 折叠使点 $D$ 恰好落在边 $BC$ 上的点 $F$ 处,求 $CE$ 的长.

答案： 1. 首先，根据矩形的性质和折叠的性质：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD = BC=10\mathrm{cm}$，$AB = CD = 8\mathrm{cm}$。
由折叠可知$AF = AD = 10\mathrm{cm}$，$EF = DE$。设$CE=x\mathrm{cm}$，则$DE=(8 - x)\mathrm{cm}$，$EF=(8 - x)\mathrm{cm}$。
2. 然后，在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}$：
已知$AB = 8\mathrm{cm}$，$AF = 10\mathrm{cm}$，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AF$，$a = AB$，$b = BF$），可得$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$。
又因为$BC = 10\mathrm{cm}$，所以$FC=BC - BF=10 - 6 = 4\mathrm{cm}$。
3. 最后，在$Rt\triangle EFC$中，根据勾股定理$EF^{2}=CE^{2}+FC^{2}$：
因为$EF=(8 - x)\mathrm{cm}$，$CE=x\mathrm{cm}$，$FC = 4\mathrm{cm}$，代入勾股定理$EF^{2}=CE^{2}+FC^{2}$，即$(8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$。
展开$(8 - x)^{2}$：根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$（这里$a = 8$，$b = x$），$64-16x+x^{2}=x^{2}+16$。
移项：$64-16x+x^{2}-x^{2}-16 = 0$。
合并同类项：$-16x+48 = 0$。
移项得$16x = 48$，解得$x = 3$。
所以$CE$的长为$3\mathrm{cm}$。

1. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 $OABC$ 的对角线 $AC$ 平行于 $x$ 轴,边 $OA$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角为 $30^{\circ}$,$OC = 2$,求点 $B$ 的坐标.

答案： 过点$ C $作$ CD \perp x $轴于点$ D $，过点$ A $作$ AE \perp x $轴于点$ E $。
因为$ AC // x $轴，所以$ CD = AE $。
在矩形$ OABC $中，$ OC = AB = 2 $，$ OA = BC $，$ \angle AOC = 90^{\circ} $。
边$ OA $与$ x $轴正半轴的夹角为$ 30^{\circ} $，设$ OA = a $，则$ AE = OA \cdot \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}a $，$ OE = OA \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $。
$ \angle COD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} $，在$ \triangle OCD $中，$ CD = OC \cdot \sin 60^{\circ} = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $，$ OD = OC \cdot \cos 60^{\circ} = 2 × \frac{1}{2} = 1 $。
因为$ CD = AE $，所以$ \frac{1}{2}a = \sqrt{3} $，解得$ a = 2\sqrt{3} $，则$ OE = \frac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{3} = 3 $。
点$ A $的坐标为$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a, \frac{1}{2}a \right) = (3, \sqrt{3}) $，点$ C $的坐标为$ (-1, \sqrt{3}) $。
因为$ B $点的横坐标为$ OE + OD = 3 + 1 = 4 $（此处错误，应为$ OE - OD = 3 - 1 = 2 $），纵坐标为$ AE + CD = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $（此处错误，纵坐标应为$ AE = \sqrt{3} $，正确计算应为点$ B $的坐标为点$ A $的坐标加上点$ C $的坐标减去点$ O $的坐标，即$ (3 - 1, \sqrt{3} + \sqrt{3}) = (2, 2\sqrt{3}) $）。
综上，点$ B $的坐标为$ (2, 2\sqrt{3}) $。
$(2, 2\sqrt{3})$