《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

4. 如图,点 A,B,C,D 在同一条直线上,点 E,F 分别在直线 AD 的两侧,且 AE = DF,∠A = ∠D,AB = DC。若 AD = 10,DC = 3,∠EBD = 60°,则当 BE = 4时,四边形 BFCE 是菱形。

答案： 4

5. 如图,在四边形 ABCD 中,AB//CD,AB = CD = BC,四边形 ABCD 是菱形吗？请说明理由。

答案： 解：四边形$ABCD$是菱形。
理由：因为$AB// CD$，$AB = CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
又因为$AB = BC$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以平行四边形$ABCD$是菱形。

6. 如图,△ABC 与△CDE 都是等边三角形,点 E,F 分别在边 AC,BC 上,且 EF//AB。
(1)求证：四边形 EFCD 是菱形；
(2)设 CD = 4,求 D,F 两点间的距离。

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ABC$与$\triangle CDE$都是等边三角形，所以$\angle A=\angle DCE=\angle BCA = \angle DEC = 60^{\circ}$。
所以$AB// CD$，又因为$EF// AB$，所以$EF// CD$。
因为$\angle DEC=\angle DCE = 60^{\circ}$，所以$\triangle CDE$是等边三角形，$CD = DE$。
又因为$\angle BCA=\angle A = 60^{\circ}$，$EF// AB$，所以$\angle CEF=\angle A = 60^{\circ}$，$\angle CFE=\angle B = 60^{\circ}$。
所以$\triangle CEF$是等边三角形，$EF = CE$。
因为$CD = CE$（$\triangle CDE$是等边三角形），所以$CD = DE = EF = FC$。
根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，所以四边形$EFCD$是菱形。
2. （2）解：
连接$DF$，因为四边形$EFCD$是菱形，$CD = 4$，所以$CD = CF = 4$，$\angle DCF = 60^{\circ}$。
所以$\triangle DCF$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，这里$CD = CF$，$\angle DCF = 60^{\circ}$）。
根据等边三角形的性质，$DF = CD$。
已知$CD = 4$，所以$DF = 4$。
综上，（1）四边形$EFCD$是菱形得证；（2）$D$，$F$两点间的距离为$4$。

1. 如图,在四边形 ABCD 中,AB//CD,AC 平分∠BAD,CE//AD 交 AB 于点 E。
(1)求证：四边形 AECD 是菱形；
(2)若 E 是 AB 的中点,试判断△ABC 的形状,并说明理由。

答案： 1. （1）
证明：
因为$AB// CD$，$CE// AD$，根据平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），所以四边形$AECD$是平行四边形。
因为$AC$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAC=\angle CAD$。
又因为$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle BAC = \angle ACD$。
则$\angle CAD=\angle ACD$。
在$\triangle ACD$中，根据等角对等边，所以$AD = CD$。
因为平行四边形$AECD$的一组邻边$AD = CD$，根据菱形的定义（一组邻边相等的平行四边形是菱形），所以四边形$AECD$是菱形。
2. （2）
解：$\triangle ABC$是直角三角形。
理由：因为$E$是$AB$的中点，所以$AE = EB$。
又因为四边形$AECD$是菱形，所以$AE = EC$。
所以$EB = EC$，则$\angle B=\angle ECB$。
因为$AE = EC$，所以$\angle BAC=\angle ECA$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle BAC+\angle BCA = 180^{\circ}$，而$\angle BCA=\angle ECB+\angle ECA$。
所以$\angle B+\angle BAC+\angle ECB+\angle ECA=180^{\circ}$，即$2(\angle BAC+\angle B)=180^{\circ}$，$\angle BAC+\angle B = 90^{\circ}$。
所以$\angle ACB=90^{\circ}$，$\triangle ABC$是直角三角形。
综上，（1）四边形$AECD$是菱形得证；（2）$\triangle ABC$是直角三角形。

菱形的性质有哪些？菱形的判定方法呢？它们之间有什么联系？有什么区别？

答案： 菱形的性质：1. 四条边都相等；2. 对角相等，邻角互补；3. 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；4. 是中心对称图形，也是轴对称图形（两条对称轴）。
菱形的判定方法：1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3. 四条边都相等的四边形是菱形。
联系：性质是菱形具有的特征，判定是根据特征判断是否为菱形，两者相互呼应，判定方法常基于性质的逆命题。
区别：性质是已知菱形推导其特征，判定是已知特征推导是否为菱形，思维方向相反。