《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

9. 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线 EF 与 AD 交于点 E,与 BC 的延长线交于点 F. 若 CF = 4,BC = 5,求 DF 的长.

答案： 解:连接FA.
∵EF垂直平分AD,
∴FA=FD,∠FAD=∠FDA,即∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD.又
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠FAC=∠B.又
∵∠AFC=∠BFA,
∴△ABF∽△CAF;
∴$AF^2 = CF·BF = 4×(4 + 5) = 36$.
∴DF=AF=6.

1. 如图,在□ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFE = ∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若 AB = 8,AD = 6$\sqrt{3}$,AF = 4$\sqrt{3}$,求 AE 的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AD//BC.
∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中,∠AFD=∠C,∠ADF=∠DEC,
∴△ADF∽△DEC;
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8.由
(1)知△ADF∽△DEC;
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AF}{CD}$.
∴$DE=\frac{AD·CD}{AF}=\frac{6\sqrt{3}×8}{4\sqrt{3}} = 12$.在Rt△ADE中，由勾股定理，得$AE=\sqrt{DE^2 - AD^2}=\sqrt{12^2 - (6\sqrt{3})^2}=6$.

1. 位似多边形的定义：一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点 $ P $,$ P' $所在的直线都经过同一点 $ O $,且有$OP'=kOP$($ k $≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形,点 $ O $ 叫做位似中心. 实际上,$ k $ 就是这两个相似多边形的相似比.

答案： 相似多边形;所在的直线;$OP'=kOP$;≠;位似中心;相似比

2. 位似多边形与相似多边形的关系：位似多边形一定相似,但相似多边形不一定位似.

答案： 位似多边形一定相似,但相似多边形不一定位似

1. 下列说法不正确的是(D).
A.位似图形一定是相似图形
B.相似图形不一定是位似图形
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行

答案： D