《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 平行线分线段成比例定理：一般地,有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

答案： 成比例

2. 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.

答案： 成比例

1. 如图 4 - 2 - 1,已知 $ AA_1 // BB_1 // CC_1 $,$ AB = 2 $,$ BC = 3 $,$ A_1B_1 = 1.5 $,求 $ B_1C_1 $ 的长.

答案： 解：
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$，即$\frac{2}{3}=\frac{1.5}{B_1C_1}$，
∴$B_1C_1=\frac{9}{4}$．

2. 如图 4 - 2 - 2,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // BC $,$ AC = 4 $,$ AB = 3 $,$ EC = 1 $,求 $ AD $ 和 $ BD $ 的长.

答案： $AD=\frac{9}{4}$，$BD=\frac{3}{4}$．

1. 平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？
2. 如何利用它们进行计算？

答案： 1. 定理：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例；推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），对应线段成比例。2. 确定平行线与被截线，找出对应线段，列比例式求解。

探究一：平行线分线段成比例定理
1. 如图 4 - 2 - 3,任意画两条直线 $ l_1 $,$ l_2 $,再画三条与 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交的平行线 $ l_3 $,$ l_4 $,$ l_5 $,分别测量 $ l_3 $,$ l_4 $,$ l_5 $ 在 $ l_1 $ 上截得的两条线段 $ AB $,$ BC $ 和在 $ l_2 $ 上截得的两条线段 $ DE $,$ EF $ 的长度,$ AB:BC $ 与 $ DE:EF $ 相等吗？任意平移 $ l_5 $,再测量 $ AB $,$ BC $,$ DE $,$ EF $ 的长度,$ AB:BC $ 与 $ DE:EF $ 相等吗？

2. 在第 1 题的条件下,$ AB:AC = DE: $DF,$ BC:AC = $EF:$ DF $. 强调“对应线段的比相等”.
归纳总结：
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线.
做一做：
如图 4 - 2 - 4,$ AE // KB // FC $. 若 $ AB = 3\ cm $,$ BC = 5\ cm $,$ EK = 4\ cm $,则 $ \frac{EK}{KF} = $$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{3}{5}$,$ \frac{AB}{AC} = $$\frac{EK}{EF}$ = $\frac{3}{8}$,$ KF = $$\frac{20}{3}cm$.

答案： 1. 相等，相等. 2. $DF$;$EF$
归纳总结：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
做一做：$\frac{AB}{BC}$;$\frac{3}{5}$;$\frac{EK}{EF}$;$\frac{3}{8}$;$\frac{20}{3}$cm

探究二：平行线分线段成比例定理的推论
1. 如图 4 - 2 - 5,$ l_1 $,$ l_2 $ 是两条相交直线,交点 $ A $ 刚好落到直线 $ l_3 $ 上,且 $ l_3 // l_4 // l_5 $,所得的对应线段的比相等吗？依据是什么？

2. 如图 4 - 2 - 6,$ l_1 $,$ l_2 $ 是两条相交直线,交点 $ A $ 刚好落到直线 $ l_4 $ 上,且 $ l_3 // l_4 // l_5 $,所得的对应线段的比相等吗？依据是什么？

归纳总结：
平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.

答案： 1.
解：所得的对应线段的比相等。
依据是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
在图$4 - 2 - 5$中，$l_{3}// l_{4}// l_{5}$，截$l_{1}$、$l_{2}$两条直线，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$等（对应线段的比相等）。
2.
解：所得的对应线段的比相等。
依据是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
在图$4 - 2 - 6$中，$l_{3}// l_{4}// l_{5}$，截$l_{1}$、$l_{2}$两条直线 ，所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$等（对应线段的比相等）。