《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究二：确定黄金分割点
如图4-4-29,已知线段AB,按照如下方法作图：
(1)过点B作BD⊥AB,使$BD= \frac{1}{2}AB$；
(2)连接AD,在DA上截取DE= DB；
(3)在AB上截取AC= AE,点C即为线段AB的黄金分割点.

问题1：设AB= 2a(a＞0),则BD= a,DE= a.
问题2：AC= $(\sqrt{5}-1)a$.
问题3：$\frac{AC}{AB}= $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
归纳总结：通过上述作图方法可以得到线段$AB$的黄金分割点$C$，且黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

答案： 问题 1：
因为$AB = 2a$，$BD=\frac{1}{2}AB$，所以$BD = a$。
又因为$DE = DB$，所以$DE = a$。
问题 2：
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 2a$，$BD = a$，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$。
因为$DE = a$，所以$AE = AD - DE=\sqrt{5}a - a=(\sqrt{5}-1)a$，又$AC = AE$，所以$AC = (\sqrt{5}-1)a$。
问题 3：
$\frac{AC}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
归纳总结：
通过上述作图方法可以得到线段$AB$的黄金分割点$C$，且黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。

 【例1】如果点C是线段AB的黄金分割点,且AC＞BC,BC= mAB,求m的值.

答案： $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

 【例2】把宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫黄金矩形. 心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目,它给我们协调、匀称的美感. 现将小波同学在数学活动课中,作黄金矩形的方法归纳如下(如图4-4-30所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD,BC的中点M,N,连接MN；
第三步：以点N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.

答案： 证明：在正方形 ABCD 中，设 $AB=2$.
∵N 为 BC 的中点，$\therefore NC=\frac{1}{2}BC=1$.在 $Rt\triangle DNC$ 中，$ND=\sqrt{NC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{5}$.又
∵$NE=ND$，$\therefore CE=NE-NC=\sqrt{5}-1$.$\therefore \frac{CE}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∴矩形 DCEF 为黄金矩形.

 【例3】如图4-4-31,以长2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF= PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上(AM＞MD).
(1)求AM,DM的长.
(2)点M是AD的黄金分割点吗？请说明理由.

答案： 1. （1）
解：
在$Rt\triangle APD$中，$AD = 2$，$AP=\frac{1}{2}AB = 1$。
根据勾股定理$PD=\sqrt{AD^{2}+AP^{2}}$，将$AD = 2$，$AP = 1$代入可得：$PD=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
因为$PF = PD=\sqrt{5}$，$AF=PF - PA$，所以$AF=\sqrt{5}-1$。
又因为四边形$AMEF$是正方形，所以$AM = AF=\sqrt{5}-1$。
而$DM=AD - AM$，$AD = 2$，所以$DM=2-(\sqrt{5}-1)=3 - \sqrt{5}$。
2. （2）
解：
计算$\frac{AM}{AD}$与$\frac{DM}{AM}$的值。
已知$AM=\sqrt{5}-1$，$AD = 2$，$DM=3 - \sqrt{5}$。
则$\frac{AM}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{DM}{AM}=\frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$，对$\frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$进行分母有理化：
$\frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{3\sqrt{5}+3 - 5-\sqrt{5}}{5 - 1}=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
因为$\frac{AM}{AD}=\frac{DM}{AM}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以点$M$是$AD$的黄金分割点。
综上，（1）$AM=\sqrt{5}-1$，$DM = 3-\sqrt{5}$；（2）点$M$是$AD$的黄金分割点。