《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究二：多边形缩小时位似中心与相似比
如图 4-8-15,在平面直角坐标系中,四边形 $ABCD$的坐标分别是 $A(-8,6)$,$B(2,-2)$,$C(6,5)$,$D(4,8)$. 回答下列问题：

问题 1：将点 $A$,$B$,$C$,$D$ 的横坐标、纵坐标都乘$\frac{1}{2}$,得到四个点 $A_1$,$B_1$,$C_1$,$D_1$,作出四边形 $A_1B_1C_1D_1$,四边形 $A_1B_1C_1D_1$与四边形 $ABCD$位似吗？如果位似,指出位似中心和相似比,并指出两个四边形位于位似中心的同侧还是两侧.
问题 2：将点 $A$,$B$,$C$,$D$ 的横坐标、纵坐标都乘$-\frac{1}{2}$,得到四个点 $A_2$,$B_2$,$C_2$,$D_2$,作出四边形 $A_2B_2C_2D_2$,你发现了什么？
归纳总结：在位似变换中，如果坐标乘以一个非零常数 $k$，原图形与变换后的图形位似，位似中心为坐标原点，相似比为 $|k|$。如果 $k$ 为正，原图形与变换后的图形位于位似中心的同侧；如果 $k$ 为负，原图形与变换后的图形位于位似中心的两侧。

答案： 问题 1：
解：
点 $A_1$ 的坐标为 $(-8 × \frac{1}{2}, 6 × \frac{1}{2}) = (-4, 3)$。
点 $B_1$ 的坐标为 $(2 × \frac{1}{2}, -2 × \frac{1}{2}) = (1, -1)$。
点 $C_1$ 的坐标为 $(6 × \frac{1}{2}, 5 × \frac{1}{2}) = (3, 2.5)$。
点 $D_1$ 的坐标为 $(4 × \frac{1}{2}, 8 × \frac{1}{2}) = (2, 4)$。
四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 与四边形 $ABCD$ 的对应点连线都经过同一点 $O(0,0)$，因此四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 与四边形 $ABCD$ 位似，位似中心为坐标原点 $O(0,0)$，相似比为 $\frac{1}{2}$，两个四边形位于位似中心的同侧。
问题 2：
解：
点 $A_2$ 的坐标为 $(-8 × -\frac{1}{2}, 6 × -\frac{1}{2}) = (4, -3)$。
点 $B_2$ 的坐标为 $(2 × -\frac{1}{2}, -2 × -\frac{1}{2}) = (-1, 1)$。
点 $C_2$ 的坐标为 $(6 × -\frac{1}{2}, 5 × -\frac{1}{2}) = (-3, -2.5)$。
点 $D_2$ 的坐标为 $(4 × -\frac{1}{2}, 8 × -\frac{1}{2}) = (-2, -4)$。
四边形 $A_2B_2C_2D_2$ 与四边形 $ABCD$ 的对应点连线也都经过同一点 $O(0,0)$，因此四边形 $A_2B_2C_2D_2$ 与四边形 $ABCD$ 位似，位似中心为坐标原点 $O(0,0)$，相似比为 $\frac{1}{2}$，但两个四边形位于位似中心的两侧。
归纳总结：
在位似变换中，如果坐标乘以一个非零常数 $k$，原图形与变换后的图形位似，位似中心为坐标原点，相似比为 $|k|$。如果 $k$ 为正，原图形与变换后的图形位于位似中心的同侧；如果 $k$ 为负，原图形与变换后的图形位于位似中心的两侧。

【例 1】如图 4-8-16,$E(-4,2)$,$F(-1,-1)$,以 $O$ 为位似中心,按相似比 $1:2$,把$\triangle EFO$缩小,则点 $E$ 的对应点 $E'$ 的坐标为(A).

A.$(2,-1)或(-2,1)$
B.$(2,-1)$
C.$(8,-4)或(-8,4)$
D.$(8,-4)$

答案： A

【例 2】如图 4-8-17,在平面直角坐标系中,有四个点：$A(0,1)$,$B(4,1)$,$C(5,4)$,$D(1,4)$.
(1)顺次连接点 $A$,$B$,$C$,$D$,$A$,得到一个怎样的四边形？
(2)将各点的横坐标、纵坐标都乘 2,得到点 $A'$,$B'$,$C'$,$D'$,那么四边形 $A'B'C'D'$ 是什么图形,它与四边形 $ABCD$ 有何关系？

答案：
(1)平行四边形.
(2)平行四边形,位似.