《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 方程 $ mx^{2}-3x= x^{2}-mx+2 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 应满足的条件为m≠1.

答案： m≠1

2. 关于 $ x $ 的方程 $ (m+2)x^{|m|}+4x+3m+1= 0 $,当 $ m= $2时,它是一元二次方程；当 $ m= $-2时,它是一元一次方程.

答案： 2;-2

探究一：一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式是$ax^{2} + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$）,二次项系数是$a$,一次项系数是$b$,常数项是$c$.

答案： 答题卡：
一元二次方程的一般形式是 $ax^{2} + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$）；
二次项系数是 $a$；
一次项系数是 $b$；
常数项是 $c$。

探究二：列一元二次方程
一块矩形铁皮长 30 cm、宽 20 cm,从它的四角各截去一个小正方形,再把四边折起来做成一个无盖的盒子. 若这个盒子的底面积恰好为原铁皮面积的 $ \frac{1}{2} $,列出关于盒子的高 $ x(cm) $ 的方程.

答案： (30-2x)(20-2x)=30×20×$\frac{1}{2}$.

 【例】将 $ (x+1)(4x-5)= 1 $ 化成一元二次方程的一般形式,并求出此时二次项系数、一次项系数和常数项的和.

答案： 答案不唯一,如$(x+1)(4x-5)=1$
$4x^{2}-5x+4x-5=1$
$4x^{2}-x-6=0$
二次项系数为$4$，一次项系数为$-1$，常数项为$-6$
$4+(-1)+(-6)=-3$
$4x^{2}-x-6=0$，$-3$

把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.

方程一：$3x^2 = 5x - 10$
一般形式：$3x^2 - 5x + 10 = 0$
二次项系数：$3$
一次项系数：$-5$
常数项：$10$
方程二：$(2 - x)(1 - 3x) = 3$
展开整理：
$\begin{aligned}(2 - x)(1 - 3x) &= 3 \\2(1) + 2(-3x) - x(1) + x(3x) &= 3 \\2 - 6x - x + 3x^2 &= 3 \\3x^2 - 7x + 2 - 3 &= 0 \\3x^2 - 7x - 1 &= 0\end{aligned}$
一般形式：$3x^2 - 7x - 1 = 0$
二次项系数：$3$
一次项系数：$-7$
常数项：$-1$
方程三：$(x - 2)^2 = 1$
展开整理：
$\begin{aligned}(x - 2)^2 &= 1 \\x^2 - 4x + 4 &= 1 \\x^2 - 4x + 3 &= 0\end{aligned}$
一般形式：$x^2 - 4x + 3 = 0$
二次项系数：$1$
一次项系数：$-4$
常数项：$3$
表格形式汇总：
| 方程 | 一般形式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
|-----------------------|------------------------|------------|------------|--------|
| $3x^2 = 5x - 10$ | $3x^2 - 5x + 10 = 0$ | $3$ | $-5$ | $10$ |
| $(2 - x)(1 - 3x) = 3$| $3x^2 - 7x - 1 = 0$ | $3$ | $-7$ | $-1$ |
| $(x - 2)^2 = 1$ | $x^2 - 4x + 3 = 0$ | $1$ | $-4$ | $3$ |

答案： 方程一：$3x^2 = 5x - 10$
一般形式：$3x^2 - 5x + 10 = 0$
二次项系数：$3$
一次项系数：$-5$
常数项：$10$
方程二：$(2 - x)(1 - 3x) = 3$
展开整理：
$\begin{aligned}(2 - x)(1 - 3x) &= 3 \\2(1) + 2(-3x) - x(1) + x(3x) &= 3 \\2 - 6x - x + 3x^2 &= 3 \\3x^2 - 7x + 2 - 3 &= 0 \\3x^2 - 7x - 1 &= 0\end{aligned}$
一般形式：$3x^2 - 7x - 1 = 0$
二次项系数：$3$
一次项系数：$-7$
常数项：$-1$
方程三：$(x - 2)^2 = 1$
展开整理：
$\begin{aligned}(x - 2)^2 &= 1 \\x^2 - 4x + 4 &= 1 \\x^2 - 4x + 3 &= 0\end{aligned}$
一般形式：$x^2 - 4x + 3 = 0$
二次项系数：$1$
一次项系数：$-4$
常数项：$3$
表格形式汇总：
| 方程 | 一般形式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
|-----------------------|------------------------|------------|------------|--------|
| $3x^2 = 5x - 10$ | $3x^2 - 5x + 10 = 0$ | $3$ | $-5$ | $10$ |
| $(2 - x)(1 - 3x) = 3$| $3x^2 - 7x - 1 = 0$ | $3$ | $-7$ | $-1$ |
| $(x - 2)^2 = 1$ | $x^2 - 4x + 3 = 0$ | $1$ | $-4$ | $3$ |

1. 下列方程是一元二次方程的是(B).
A.$ y= x^{2}-1 $
B.$ x^{2}= 6 $
C.$ x^{2}+5x-1= x^{2}+1 $
D.$ 2(x+1)= 2 $

答案： B

2. 将方程 $ 3x^{2}= -6x+8 $ 化为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项可能为②④.
①3,6,8；②-3,-6,8；③3,-6,8；④3,6,-8.

答案： ②④