《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 什么叫平行四边形？什么叫矩形？

答案： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2. 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边叫形是矩形；______有三个角是直角的四边形是矩形。

答案： 对角线相等的平行四边叫形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形

1. 下列判定矩形的说法：①有一个角是直角的四边形是矩形；②四个角都相等的四边形是矩形；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形。其中,正确的有(B)。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

2. 顺次连接菱形各边中点所形成的四边形是(C)。
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.不能确定

答案： C

如何证明一个四边形是矩形？

答案： 见解析

探究：
问题 1：什么叫矩形？
问题 2：已知：如图 1-2-4,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC = BD。
求证：▱ABCD 是矩形。
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问题 3：如图 1-2-5,在四边形 ABCD 中,∠A = ∠B = ∠C = 90°。求证：四边形 ABCD 是矩形。
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归纳总结：对角线相等的平行四边形是矩形,有三个角是直角的四边形是矩形。

答案： 问题1:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2:证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，
∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°，
∴2(∠OBA+∠OBC)=180°，
∴∠OBA+∠OBC=90°，即∠ABC=90°，
∴▱ABCD是矩形.
问题3:证明：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
归纳总结：对角线相等的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形

【例 1】如图 1-2-6,▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E,F,G,H。求证：四边形 EFGH 是矩形。

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答案： 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠DAB+∠ABC=180°.又
∵AE平分∠DAB,BG平分∠ABC，
∴∠EAB+∠ABG=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
∴∠AFB=90°,
∴∠GFE=90°.同理∠AED=∠BGC=90°.
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).

【例 2】如图 1-2-7,在▱ABCD 中,E 是边 CD 的中点,连接 BE 并延长,交 AD 的延长线于点 F,连接 BD,CF。
(1)求证：△CEB ≌ △DEF；
(2)若 AB = BF,试判断四边形 BCFD 的形状,并证明。

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答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF//BC，
∴∠AFB=∠CBF,∠FDC=∠DCB.
∵E是CD的中点，
∴CE=ED.
∴△CEB≌△DEF.
(2)解:四边形BCFD是矩形.证明如下：
∵△CEB≌△DEF，
∴BE=EF.
∵CE=DE，
∴四边形BCFD是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
∵AB=BF，
∴BF=CD，
∴平行四边形BCFD为矩形.