《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

2. 如图 1 - 2 - 13,点$E$,$F分别在矩形AB - CD$的两条边上,且$EF⊥EC$,$EF = EC$. 若该矩形的周长为 16,$AE = 3$,则$DE$的长为(B).

A.$\frac{3}{2}$

B.2
C.$\frac{5}{2}$
D.3

答案： B

3. 如图 1 - 2 - 14,将$\triangle ABC绕AC的中点O顺时针旋转180^{\circ}得到\triangle CDA$,添加一个条件：$\angle B=90^{\circ}$(答案不唯一),使四边形$ABCD$为矩形.

答案： $\angle B=90^{\circ}$(答案不唯一)

1. 如图,在矩形$ABCD$中,$M是BC$的中点,且$MA⊥MD$. 若矩形$ABCD$的周长为 48 cm,则矩形$ABCD$的面积为128$cm^{2}$.

答案： 128

2. 如图,根据实际需要,要在矩形试验田里修一条公路(小路任何地方的水平宽度都相等),则剩余试验田的面积为$am-ab$.

答案： $am-ab$

3. 如图,矩形$ABCD的对角线AC与BD交于点O$,过点$O作BD的垂线分别交AD$,$BC于E$,$F$两点. 若$AC = 2\sqrt{3}$,$∠AEO = 120^{\circ}$,则$EF$的长为(B).

A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： B

4. 如图,在矩形纸片$ABCD$中,$AB = 2$,点$E在BC$边上,且$AE = EC$. 若将纸片沿$AE$折叠,使点$B的对应点B'恰好落在对角线AC$上,则$AC$的长是4.

答案： 4

5. 如图,在矩形$ABCD$中,$E是AB$的中点,$DF⊥CE于点F$. 若$AD = 8$,$AB = 4$,则$DF$的长是______.

$\frac{16\sqrt{17}}{17}$

答案： $\frac{16\sqrt{17}}{17}$

6. 如图,点$O是菱形ABCD$对角线的交点,$DE// AC$,$CE// BD$,连接$OE$. 已知菱形$ABCD$的周长为 20 cm,则$OE$长为5cm.

答案： 5

7. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 6$,$BC = 8$. 将矩形$ABCD沿CE$折叠后,点$D恰好落在对角线AC上的点F$处.

(1)求$EF$的长；
(2)求四边形$ABCE$的面积.

答案： 1. （1）
首先，在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = AB = 6$，$b = BC = 8$）：
可得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
因为矩形$ABCD$沿$CE$折叠后，点$D$恰好落在对角线$AC$上的点$F$处，所以$CF = CD$，$EF = ED$，$\angle CFE=\angle D = 90^{\circ}$。
已知$CD = AB = 6$，则$CF = 6$，设$EF=x$，那么$ED=x$，$AE=(8 - x)$，$AF=AC - CF=10 - 6 = 4$。
然后在$Rt\triangle AEF$中，根据勾股定理$AE^{2}=AF^{2}+EF^{2}$：
即$(8 - x)^{2}=4^{2}+x^{2}$。
展开式子得$64-16x+x^{2}=16 + x^{2}$。
移项可得$64-16x+x^{2}-x^{2}-16 = 0$。
合并同类项得$-16x=-48$。
解得$x = 3$，所以$EF$的长为$3$。
2. （2）
解：
由（1）知$ED = 3$，则$AE=8 - 3 = 5$。
四边形$ABCE$的面积$S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle AEC}$。
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}×6×8 = 24$，$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}AE\cdot AB$（以$AB$为底，$AE$为高）。
把$AE = 5$，$AB = 6$代入$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}×5×6 = 15$。
所以$S_{四边形ABCE}=24 + 15=39$。
综上，（1）$EF = 3$；（2）四边形$ABCE$的面积为$39$。