《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

答案： 有一组邻边相等,并且有一个角是直角

2. 有一个角是直角(不唯一)的菱形是正方形.

答案： 有一个角是直角(不唯一)

3. 有一组邻边相等(不唯一)的矩形是正方形.

答案： 有一组邻边相等(不唯一)

4. 如图 1-3-1,已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点(不与点 A,C 重合). 求证：BP= DP.

答案： 解：因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle BAP=\angle DAP = 45^{\circ}$。
在$\triangle ABP$和$\triangle ADP$中，$\begin{cases}AB = AD\\\angle BAP=\angle DAP\\AP = AP\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle ABP\cong\triangle ADP$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$BP = DP$。
综上，$BP = DP$得证。

正方形是平行四边形吗？是菱形吗？是矩形吗？它具有什么性质？

答案： 是；是；是；正方形具有四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且垂直平分，每条对角线平分一组对角的性质。

探究一：正方形的定义
做一做：用一张矩形纸片(如图 1-3-2)折出一个正方形.

问题：正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

答案： 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形

探究二：正方形的性质
思考 1：正方形的性质与菱形的性质有什么关系？
思考 2：正方形的性质与矩形的性质有什么关系？
思考 3：基于以上思考,自己试着总结正方形的性质：边：四条边都相等。
角：四个角都是直角。
对角线：对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形。.

答案： 思考1：正方形具有菱形的所有性质，即四条边都相等，对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。
思考2：正方形具有矩形的所有性质，即四个角都是直角，对角线相等且互相平分。
思考3：
边：四条边都相等。
角：四个角都是直角。
对角线：对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形。

【例 1】如图 1-3-3,在正方形 ABCD 中,E 为 CD 边上一点,F 为 BC 延长线上一点,且 CE= CF. 求证：BE= DF.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC,∠BCE=90°,
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°,
∴∠BCE=∠DCF.
又
∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF，
∴BE=DF.

【例 2】如图 1-3-4,E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点,点 F 是 CB 延长线上一点,且 DE= BF. 求证：EA⊥AF.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠D=∠ABF=90°.
又
∵DE=BF，
∴△ADE≌△ABF.
∴∠EAD=∠FAB.
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=90°.
∴∠FAE=90°,即EA⊥AF.