《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$D为斜边BC$的中点,$P为BC$边上任意一点,且$PE⊥AB于点E$,$PF⊥AC于点F$. 求证：$DE = DF$.

答案： 证明：连接$AD$。
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$为斜边$BC$的中点，所以$AD = BD = CD$，$\angle BAD=\angle CAD = 45^{\circ}$，$\angle B=\angle C = 45^{\circ}$，故$\angle B=\angle DAC = 45^{\circ}$。
因为$PE\perp AB$，$PF\perp AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以四边形$AEPF$是矩形，因此$AF = PE$。
在$\triangle BEP$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle BEP = 90^{\circ}$，所以$\triangle BEP$是等腰直角三角形，故$BE = PE$，从而$AF = BE$。
在$\triangle DBE$和$\triangle DAF$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = AD\\\angle B=\angle DAF\\BE = AF\end{array}\right.$，所以$\triangle DBE\cong\triangle DAF(SAS)$，因此$DE = DF$。

1. 什么是正方形？

答案： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2. 菱形具有哪些特殊的性质？正方形具有这些性质吗？

答案： 菱形的特殊性质：四条边都相等；对角线互相垂直且平分每组对角；是轴对称图形，有两条对称轴。正方形具有这些性质。

3. 矩形具有哪些特殊的性质？正方形具有这些性质吗？

答案： 矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等；正方形具有这些性质。