《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

3. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$,
(1)当$\Delta＞ 0$时,方程有两个不相等的实数根；
(2)当$\Delta= 0$时,方程有两个相等的实数根；
(3)当$\Delta＜ 0$时,方程没有实数根。
(4)根与系数的关系：如果方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有两个实数根,那么$x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}=$$\frac{c}{a}$。

答案：
(1) $\Delta＞ 0$
(2) $\Delta= 0$
(3) $\Delta＜ 0$
(4) $-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$

1. 已知一元二次方程$x^{2}-3x - 1 = 0的两个根分别是x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$的值为(A)。
A.$-3$
B.$3$
C.$-6$
D.$6$

答案： A

2. 解方程：$x^{2}+4x + 2 = 0$。

答案： x₁=-2+√2,x₂=-2-√2.

探究一：一元二次方程的概念
已知关于$x的方程(m + 3)x^{|m| - 1}-2x + 4 = 0$是一元二次方程,求$m$的值。
问题$1$：方程的二次项系数为$m+3$。
问题$2$：方程的系数应该满足什么条件？

答案： 问题1：$m+3$
问题2：$\left\{\begin{array}{l} |m|-1=2\\ m+3\neq 0\end{array}\right.$
解：由$|m|-1=2$得$|m|=3$，$m=\pm 3$。
由$m+3\neq 0$得$m\neq -3$。
综上，$m=3$。

探究二：一元二次方程的解法
1. (1)$x^{2}-4 = 0$；
(2)$(x - 1)^{2}-9 = 0$。(直接开平方法)
2. $2x^{2}-7x - 2 = 0$。(配方法)
问题$1$：化成二次项系数为$1$的方程：$x^{2}-\frac{7}{2}x - 1 = 0$。
问题$2$：配方时,方程两边加上的数为多少？$\frac{49}{16}$
3. $(x + 2)^{2}= 3(x + 2)$。(因式分解法)
问题：先移项,方程可以写成哪两个因式之积？$(x + 2)(x - 1)$
4. $2x^{2}+x - 6 = 0$。(公式法)
问题：方程中的$a$,$b$,$c$分别是多少？$a = 2$，$b = 1$，$c = -6$

答案： 1.
(1)
$x^{2}-4 = 0$
$x^{2}=4$
$x=\pm2$
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$
(2)
$(x - 1)^{2}-9 = 0$
$(x - 1)^{2}=9$
$x - 1=\pm3$
当$x - 1 = 3$时，$x = 4$；当$x - 1=-3$时，$x=-2$
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$
2.
$2x^{2}-7x - 2 = 0$
问题1：化成二次项系数为1的方程：$x^{2}-\frac{7}{2}x - 1 = 0$
问题2：一次项系数一半的平方为$(\frac{-\frac{7}{2}}{2})^{2}=(\frac{-7}{4})^{2}=\frac{49}{16}$，所以配方时，方程两边加上的数为$\frac{49}{16}$
$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=1+\frac{49}{16}$
$(x - \frac{7}{4})^{2}=\frac{65}{16}$
$x - \frac{7}{4}=\pm\frac{\sqrt{65}}{4}$
解得$x_{1}=\frac{7 + \sqrt{65}}{4}$，$x_{2}=\frac{7 - \sqrt{65}}{4}$
3.
$(x + 2)^{2}= 3(x + 2)$
移项得$(x + 2)^{2}-3(x + 2)=0$
方程可以写成$(x + 2)(x + 2 - 3)=(x + 2)(x - 1)$这两个因式之积
$(x + 2)(x - 1)=0$
则$x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$
4.
$2x^{2}+x - 6 = 0$
问题：方程中的$a = 2$，$b = 1$，$c = -6$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4×2×(-6)}}{2×2}=\frac{-1\pm\sqrt{1 + 48}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-1\pm7}{4}$
解得$x_{1}=\frac{-1 + 7}{4}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - 7}{4}=-2$