《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

4. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,点 $E$,$F$ 分别在边 $AB$,$BC$ 上,且 $AE = \frac{1}{3}AB$。将矩形沿直线 $EF$ 折叠,使点 $B$ 恰好落在 $AD$ 边上的点 $P$ 处,连接 $BP$ 交 $EF$ 于点 $Q$,则有下列结论：①$EF = 2BE$；②$PF = 2PE$；③$FQ = 4EQ$；④$\triangle PBF$ 是等边三角形。其中,正确的结论是(D)。

A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
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答案： 4.D

5. 如图,在边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AB$ 边上的一点,且 $AE = 3$,点 $Q$ 为对角线 $AC$ 上的动点,则$\triangle BEQ$ 的周长的最小值为6。
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答案： 5.6

6. 如图,在边长为 $6$ 的大正方形中有两个小正方形(两个小正方形的顶点均在大正方形的边或对角线上)。若两个小正方形的面积分别为 $S_{1}$,$S_{2}$,则 $S_{1} + S_{2}$ 的值为17。
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答案： 6.17

7. 在$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$E$ 是 $AD$ 的中点。过点 $A$ 作 $AF // BC$ 交 $BE$ 的延长线于点 $F$,连接 $CF$。
(1)求证：$\triangle AEF \cong \triangle DEB$；
(2)求证：四边形 $ADCF$ 是菱形；
(3)若 $AC = 4$,$AB = 5$,求菱形 $ADCF$ 的面积。
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答案： 7.
(1)证明：
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE。
∵E是AD的中点，
∴AE=DE。
∵∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB。
(2)证明：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF=DB。
∵D是BC的中点，
∴DC=DB。
∴AF=DC。
∵AF//DC，
∴四边形ADCF是平行四边形。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD。
∴平行四边形ADCF是菱形。
(3)解：
∵菱形ADCF是轴对称图形，AC所在的直线是它的一条对称轴，
∴S菱形ADCF=2S△ADC。
∵D是BC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC。
∴S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC，
即S△ABC=2S△ADC。
∴S菱形ADCF=S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·AC=$\frac{1}{2}$×5×4=10。

1. 如图,正方形 $OABC$ 的两边 $OA$,$OC$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴上,点 $D(5, 3)$ 在边 $AB$ 上。若以点 $C$ 为中心把$\triangle CDB$ 旋转 $90^{\circ}$,则旋转后点 $D$ 的对应点 $D'$ 的坐标是(C)。

A.$(2, 10)$
B.$(-2, 0)$
C.$(2, 10)或(-2, 0)$
D.$(10, 2)或(-2, 0)$
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答案： 1.C

2. 如图,在$□ ABCD$ 中,$\angle D = 90^{\circ}$,$AB = 4$ cm,$BC = 8$ cm,点 $P$ 从点 $D$ 出发向点 $A$ 运动,同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发向点 $C$ 运动,$P$,$Q$ 的速度都是 $1$ cm/s。
(1)在运动的过程中,四边形 $AQCP$ 可能是菱形吗？如果可能,那么经过多少秒后,四边形 $AQCP$ 是菱形？
(2)当四边形 $AQCP$ 为菱形时,求菱形 $AQCP$ 的周长和面积。
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答案： 1. （1）
解：因为四边形$ABCD$是平行四边形，$\angle D = 90^{\circ}$，所以四边形$ABCD$是矩形，$AD = BC = 8\mathrm{cm}$，$AB = CD = 4\mathrm{cm}$。
设经过$t$秒后，四边形$AQCP$是菱形。
则$DP=t\mathrm{cm}$，$AP=(8 - t)\mathrm{cm}$，$BQ=t\mathrm{cm}$，$CQ=(8 - t)\mathrm{cm}$。
因为四边形$AQCP$是菱形，所以$AP = CQ=AQ = CP$。
在矩形$ABCD$中，$AQ=\sqrt{AB^{2}+BQ^{2}}$（勾股定理，$\angle B = 90^{\circ}$），由$AQ = AP$可得：
$AQ=\sqrt{4^{2}+t^{2}}$，$AP = 8 - t$，则$\sqrt{4^{2}+t^{2}}=8 - t$。
两边平方得：$16+t^{2}=(8 - t)^{2}$。
展开$(8 - t)^{2}$：根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = 8$，$b = t$，$(8 - t)^{2}=64-16t+t^{2}$。
所以$16+t^{2}=64-16t+t^{2}$。
移项得：$16t=64 - 16$。
即$16t = 48$，解得$t = 3$。
所以经过$3$秒后，四边形$AQCP$是菱形。
2. （2）
当$t = 3$时：
菱形$AQCP$的边长$AQ=AP=8 - 3=5\mathrm{cm}$。
周长$C = 4×5=20\mathrm{cm}$。
面积$S = CQ× AB$（以$AB$为高，$CQ$为底），因为$CQ=5\mathrm{cm}$，$AB = 4\mathrm{cm}$，所以$S = 5×4=20\mathrm{cm}^{2}$。
综上，（1）经过$3$秒后，四边形$AQCP$是菱形；（2）菱形$AQCP$的周长是$20\mathrm{cm}$，面积是$20\mathrm{cm}^{2}$。