《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

请写出相似三角形的三个判定方法：
1. ______；
2. ______；
3. ______。
两角分别相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似

答案： 相似三角形的判定方法$\begin{cases}两角分别相等的两个三角形相似\\两边成比例且夹角相等的两个三角形相似\\三边成比例的两个三角形相似\end{cases}$。

1. 判断.
(1)两个全等三角形一定相似； (√)
(2)两个直角三角形一定相似； (×)
(3)两个等腰直角三角形一定相似； (√)
(4)两个等腰三角形一定相似； (×)
(5)两个等边三角形一定相似； (√)
(6)两个相似三角形中有一组对应边相等,那么这两个三角形全等. (√)

答案：
(1)√
(2)×
(3)√
(4)×
(5)√
(6)√

$2. △ABC$的三边分别长$\sqrt{5},\sqrt{10},5,△A_1B_1C_1$的两边分别长$1$和$\sqrt{2},$则当$△A_1B_1C_1$的第三边长$\sqrt{5}$时$,△ABC$与$△A_1B_1C_1$相似$.$

答案： $\sqrt{5}$

3. 如图4-4-23,点D在△ABC内,连接BD并延长到点E,连接AD,AE. 若∠DAB= 20°,$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{AC}{AE}$,则∠EAC= 20°.

答案： 20°

4. 在△ABC和△A′B′C′中,AB= 9cm,BC= 8cm,CA= 5cm,A′B′= 4.5cm,B′C′= 2.5cm,C′A′= 4cm,则下列说法错误的是(D).
A.△ABC与△B′A′C′相似
B.AB与A′B′是对应边
C.△ABC与△B′A′C′的相似比是2∶1
D.BC与B′C′是对应边

答案： D

5. 如图4-4-24,已知O为△ABC内一点,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点. 求证：△ABC∽△DEF.

答案： 证明:
∵D,E 分别是 OA,OB 的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB.同理 EF=$\frac{1}{2}$BC,DF=$\frac{1}{2}$AC.
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$.
∴△ABC∽△DEF.

1. 下列条件不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是(C).
A.∠C= ∠C′= 90°,∠B= ∠A′= 50°
B.∠A= ∠A′= 90°,$\frac{BC}{AB}= \frac{B'C'}{A'B'}$
C.∠A= ∠A′,$\frac{BC}{B'C'}= \frac{AB}{A'B'}$
D.$\frac{BC}{A'C'}= \frac{AB}{B'C'}= \frac{AC}{A'B'}$

答案： C

2. 依据下列条件,证明△ABC与△A′B′C′相似：AB= 10cm,BC= 8cm,AC= 16cm,A′B′= 16cm,B′C′= 12.8cm,A′C′= 25.6cm.

答案： 证明:
∵AB=10 cm,BC=8 cm,AC=16 cm,A'B'=16 cm,B'C'=12.8 cm,A'C'=25.6 cm,
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{5}{8}$.
∴△ABC∽△A'B'C'.

3. 如图,在4×3的正方形网格中△ABC和△CDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空：∠ABC= 135°,BC= 2√2；
(2)判断△ABC和△CDE是否相似,请说明理由.

△ABC∽△CDE。理由：因为∠ABC=∠CDE=135°，AB=2，CD=√2，BC=2√2，DE=2，所以AB/CD=2/√2=√2，BC/DE=2√2/2=√2，即AB/CD=BC/DE=√2，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△CDE。

答案： 1. （1）
计算$\angle ABC$：
观察图形，$\angle ABC = 135^{\circ}$。
计算$BC$：
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = 2$，$b = 2$），$BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. （2）
解：$\triangle ABC\sim\triangle CDE$。
理由：
计算$CD$：$CD=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$DE = 1$，$AB = 2$。
则$\frac{AB}{CD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}$（这里计算错误，重新计算比例）。
重新计算：$AB = 2$，$BC = 2\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{2}$，$DE = 1$。
$\frac{AB}{CD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}$（再次错误，正确计算）：
因为$\angle ABC=\angle CDE = 135^{\circ}$，$\frac{AB}{CD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
根据相似三角形判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），在$\triangle ABC$和$\triangle CDE$中，$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}=\sqrt{2}$，$\angle ABC=\angle CDE = 135^{\circ}$。
综上，（1）$\angle ABC = 135^{\circ}$，$BC = 2\sqrt{2}$；（2）$\triangle ABC\sim\triangle CDE$。