《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

6. 若关于 $x$ 的方程 $a(x + m)^2 + b = 0$ 的解是 $x_1 = 2$,$x_2 = -1$($a$,$m$,$b$ 均为常数,$a \neq 0$),则方程 $a(-x - m + 1)^2 + b = 0$ 的解是(D).
A.$x_1 = 1$,$x_2 = -2$
B.$x_1 = 1$,$x_2 = 0$
C.$x_1 = 3$,$x_2 = -2$
D.$x_1 = 3$,$x_2 = 0$

答案： D

7. 解方程：
(1)$2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2)$9y^2 - 18y - 4 = 0$；
(3)$2x^2 + 6x - 5 = 0$；
(4)$6y^2 + 13y + 6 = 0$.

答案： 1. （1）对于方程$2x^{2}-4x - 1=0$：
这里$a = 2$，$b=-4$，$c=-1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×(-1)=16 + 8=24$。
再根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$。
所以$x_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
2. （2）对于方程$9y^{2}-18y - 4=0$：
这里$a = 9$，$b=-18$，$c=-4$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-18)^{2}-4×9×(-4)=324+144 = 468$。
由求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，$y=\frac{18\pm\sqrt{468}}{18}=\frac{18\pm6\sqrt{13}}{18}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{3}$。
所以$y_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{3}$，$y_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{3}$。
3. （3）对于方程$2x^{2}+6x - 5=0$：
这里$a = 2$，$b = 6$，$c=-5$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=6^{2}-4×2×(-5)=36 + 40=76$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，$x=\frac{-6\pm\sqrt{76}}{4}=\frac{-6\pm2\sqrt{19}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{19}}{2}$。
所以$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$。
4. （4）对于方程$6y^{2}+13y + 6=0$：
这里$a = 6$，$b = 13$，$c = 6$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=13^{2}-4×6×6=169 - 144 = 25$。
由求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，$y=\frac{-13\pm\sqrt{25}}{12}=\frac{-13\pm5}{12}$。
当$y=\frac{-13 + 5}{12}$时，$y_{1}=-\frac{2}{3}$；当$y=\frac{-13-5}{12}$时，$y_{2}=-\frac{3}{2}$。
综上，（1）$x_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$；（2）$y_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{3}$，$y_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{3}$；（3）$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$；（4）$y_{1}=-\frac{2}{3}$，$y_{2}=-\frac{3}{2}$。

8. 设 $A = 2x^2 - 4x - 1$,$B = x^2 - 6x - 6$,试比较 $A$ 与 $B$ 的大小.

答案： 解:
∵A-B=(2x²-4x-1)-(x²-6x-6)=x²+2x+5=x²+2x+1+4=(x+1)²+4＞0,即A-B＞0,
∴A＞B.

1. 求证：关于 $x$ 的方程 $(m^2 - 8m + 17)x^2 + 2mx + 1 = 0$,无论 $m$ 取何值,该方程都是一元二次方程.

答案： 要证明无论$m$取何值，方程$(m^2 - 8m + 17)x^2 + 2mx + 1 = 0$都是一元二次方程，只需证明二次项系数$m^2 - 8m + 17$恒不为$0$。
$\begin{aligned}m^2 - 8m + 17&=m^2 - 8m + 16 + 1\\&=(m - 4)^2 + 1\end{aligned}$
因为$(m - 4)^2 \geq 0$，所以$(m - 4)^2 + 1 \geq 1$，即$m^2 - 8m + 17 \geq 1 ＞ 0$。
因此，无论$m$取何值，二次项系数都不为$0$，该方程都是一元二次方程。
结论：无论$m$取何值，该方程都是一元二次方程。

1. 一元二次方程的求根公式是什么？

答案： 一元二次方程的求根公式是 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 。

2. 不解方程,你能判断出一元二次方程根的情况吗？

答案： 能