《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

2. 已知 $ \triangle ABC $,以点 $ A $ 为位似中心,作出 $ \triangle ADE $,使 $ \triangle ADE $ 是 $ \triangle ABC $ 放大 2 倍的图形,这样的图形可以作出2个,所作图形之间的关系是成中心对称.

答案： 2;成中心对称

3. 如图 4 - 8 - 1,点 $ O $ 是四边形 $ ABCD $ 与四边形 $ A'B'C'D' $ 的位似中心,则 $ \frac{A'B'}{AB} = $$\frac{B'C'}{BC}$$ = $$\frac{C'D'}{CD}$$ = $$\frac{A'D'}{AD}$,$ \angle ABC = $$∠A'B'C'$,$ \angle OCB = $$∠OC'B'$.

答案： $\frac{B'C'}{BC}$;$\frac{C'D'}{CD}$;$\frac{A'D'}{AD}$;$∠A'B'C'$;$∠OC'B'$(前3个空答案不唯一)

1. 什么叫位似图形？

答案： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2. 如何利用位似变换将一个图形放大或缩小？

答案： 1. 确定位似中心；
2. 分别连接位似中心和图形各顶点；
3. 根据放大或缩小的比例，在位似中心与各顶点的连线上（或延长线上）取对应点，使对应点到位似中心的距离与原顶点到位似中心的距离之比等于相似比；
4. 顺次连接各对应点，得到放大或缩小后的图形。

探究一：探索位似图形的概念
已知点 $ O $ 和 $ \triangle ABC $.
问题 1：画射线 $ OA $,$ OB $,$ OC $,在射线 $ OA $,$ OB $,$ OC $ 上分别取点 $ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $,使 $ \frac{OA_1}{OA} = \frac{OB_1}{OB} = \frac{OC_1}{OC} = 2 $. 顺次连接 $ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $,$ A_1 $,得 $ \triangle A_1B_1C_1 $.

问题 2：在 $ OA $,$ OB $,$ OC $ 的反向延长线上分别取点 $ A_2 $,$ B_2 $,$ C_2 $,使 $ \frac{OA_2}{OA} = \frac{OB_2}{OB} = \frac{OC_2}{OC} = 2 $. 顺次连接 $ A_2 $,$ B_2 $,$ C_2 $,$ A_2 $,得 $ \triangle A_2B_2C_2 $.

问题 3：$ \triangle ABC $,$ \triangle A_1B_1C_1 $,$ \triangle A_2B_2C_2 $ 是否相似？为什么？
归纳总结：在上图中,两个图形不仅相似,而且对应顶点所在的直线经过同一点,对应边互相平行. 像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
问题3：相似。
理由：在△OAB与△OA₁B₁中，$\frac{OA₁}{OA}=\frac{OB₁}{OB}=2$，∠AOB=∠A₁OB₁，所以△OAB∽△OA₁B₁，因此$\frac{A₁B₁}{AB}=2$，∠OAB=∠OA₁B₁，所以A₁B₁//AB。
同理可得$\frac{B₁C₁}{BC}=2$，$\frac{A₁C₁}{AC}=2$，B₁C₁//BC，A₁C₁//AC。
所以$\frac{A₁B₁}{AB}=\frac{B₁C₁}{BC}=\frac{A₁C₁}{AC}=2$，根据相似三角形的判定定理（三边成比例的两个三角形相似），可得△ABC∽△A₁B₁C₁。
同理可证△ABC∽△A₂B₂C₂，所以△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂相似。

答案： 问题3：相似。
理由：在△OAB与△OA₁B₁中，$\frac{OA₁}{OA}=\frac{OB₁}{OB}=2$，∠AOB=∠A₁OB₁，所以△OAB∽△OA₁B₁，因此$\frac{A₁B₁}{AB}=2$，∠OAB=∠OA₁B₁，所以A₁B₁//AB。
同理可得$\frac{B₁C₁}{BC}=2$，$\frac{A₁C₁}{AC}=2$，B₁C₁//BC，A₁C₁//AC。
所以$\frac{A₁B₁}{AB}=\frac{B₁C₁}{BC}=\frac{A₁C₁}{AC}=2$，根据相似三角形的判定定理（三边成比例的两个三角形相似），可得△ABC∽△A₁B₁C₁。
同理可证△ABC∽△A₂B₂C₂，所以△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂相似。
归纳总结：相似；同一点；平行；位似图形；位似中心。

探究二：探索位似图形的位似中心的位置
下面有五个图形,每个图形中的四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ A_1B_1C_1D_1 $ 都是相似图形. 分别观察这五个图形,回答下列问题：

问题 1：每个图形中的四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ A_1B_1C_1D_1 $ 都是位似图形吗？
是
问题 2：位似中心与四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ A_1B_1C_1D_1 $ 的位置有何关系？
位似中心的位置关系分别为：在两图形同侧、两图形之间、其中一个图形内部、其中一个图形的边上或顶点处。
归纳总结：位似中心可以在两图形的同侧,之间,内部或其中一个图形的边上（或顶点处）.

答案： 问题1：是
问题2：位似中心的位置关系分别为：在两图形同侧、两图形之间、其中一个图形内部、其中一个图形的边上或顶点处。
归纳总结：同侧、之间、内部、其中一个图形的边上（或顶点处）