《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 设一元二次方程 $x^{2}-2x - 4 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$,则下列结论正确的是(A).
A.$x_{1}+x_{2}= 2$
B.$x_{1}+x_{2}= -4$
C.$x_{1}x_{2}= -2$
D.$x_{1}x_{2}= 4$

答案： A

2. 若方程 $2x^{2}-3x - 1 = 0$,则 $x_{1}+x_{2}= $$\dfrac{3}{2}$, $x_{1}x_{2}= $$-\dfrac{1}{2}$.

答案： $\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}$

3. 已知方程 $x^{2}-3x + m = 0$ 的一个根是 1,则它的另一个根是2, $m= $2.

答案： 2；2

4. 若 0 和 -3 是方程 $x^{2}+px + q = 0$ 的两根,则 $p + q= $3.

答案： 3

5. 在解方程 $x^{2}+px + q = 0$ 时,甲同学看错了 $p$,解得方程的根为 $x_{1}= 1,x_{2}= -3$;乙同学看错了 $q$,解得方程的根为 $x_{1}= 4,x_{2}= -2$. 故方程中的 $p=$-2, $q=$-3.

答案： -2；-3

1. 若一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 有一个根为 -1,则 $a,b,c$ 的关系是$a-b+c=0$.

答案： $a-b+c=0$

2. 一元二次方程 $x^{2}-3x - 1 = 0$ 与 $x^{2}-x - 3 = 0$ 的所有实数根的和等于4.

答案： 4

3. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + k - 1 = 0$ 的两根之差等于 6,那么 $k=$-4.

答案： -4

4. 已知 $a^{2}= 1 - a,b^{2}= 1 - b$,且 $a\neq b$,则 $(a - 1)(b - 1)= $1.

答案： 1

5. 已知三角形的两边分别长 2 和 9,第三边的长是一元二次方程 $x^{2}-14x + 48 = 0$ 的一个根,则这个三角形的周长为(D).
A.11
B.17
C.17 或 19
D.19

答案： D

6. 两根均为负数的一元二次方程是(C).
A.$7x^{2}-12x + 5 = 0$
B.$6x^{2}-13x - 5 = 0$
C.$4x^{2}+21x + 5 = 0$
D.$x^{2}+15x - 8 = 0$

答案： C

7. 如果方程 $x^{2}+px + q = 0$ 的两根中只有一个为 0,那么(C).
A.$p = q = 0$
B.$p = 0,q\neq0$
C.$p\neq0,q = 0$
D.$p\neq0,q\neq0$

答案： C

8. 设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $2x^{2}-5x + 1 = 0$ 的两个根. 利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)$(x_{1}-3)(x_{2}-3)$;
(2)$(x_{1}+1)^{2}+(x_{2}+1)^{2}$;
(3)$\frac{x_{2}}{x_{1}+1}+\frac{x_{1}}{x_{2}+1}$;
(4)$\vert x_{1}-x_{2}\vert$.

答案： 本题可先根据韦达定理得出$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值，再将所求式子变形，最后代入求值。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$2x^{2}-5x + 1 = 0$中，$a = 2$，$b = -5$，$c = 1$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$。
$(1)$计算$(x_{1}-3)(x_{2}-3)$
将$(x_{1}-3)(x_{2}-3)$展开可得：
$(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3x_{1}-3x_{2}+9=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9$
把$x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$代入上式可得：
$\frac{1}{2}-3×\frac{5}{2}+9=\frac{1}{2}-\frac{15}{2}+9=-7 + 9 = 2$
$(2)$计算$(x_{1}+1)^{2}+(x_{2}+1)^{2}$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$将$(x_{1}+1)^{2}+(x_{2}+1)^{2}$展开可得：
$(x_{1}+1)^{2}+(x_{2}+1)^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}+1+x_{2}^{2}+2x_{2}+1=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+2(x_{1}+x_{2})+2$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$变形可得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，则：
$(x_{1}+1)^{2}+(x_{2}+1)^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+2$
把$x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$代入上式可得：
$(\frac{5}{2})^{2}-2×\frac{1}{2}+2×\frac{5}{2}+2=\frac{25}{4}-1 + 5 + 2=\frac{25}{4}+6=\frac{25}{4}+\frac{24}{4}=\frac{49}{4}$
$(3)$计算$\frac{x_{2}}{x_{1}+1}+\frac{x_{1}}{x_{2}+1}$
先通分可得：
$\frac{x_{2}}{x_{1}+1}+\frac{x_{1}}{x_{2}+1}=\frac{x_{2}(x_{2}+1)+x_{1}(x_{1}+1)}{(x_{1}+1)(x_{2}+1)}=\frac{x_{2}^{2}+x_{2}+x_{1}^{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1}$
由$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，代入可得：
$\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1}$
把$x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$代入上式可得：
$\frac{(\frac{5}{2})^{2}-2×\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1}=\frac{\frac{25}{4}-1+\frac{5}{2}}{4}=\frac{\frac{25}{4}+\frac{3}{2}}{4}=\frac{\frac{25}{4}+\frac{6}{4}}{4}=\frac{31}{16}$
$(4)$计算$\vert x_{1}-x_{2}\vert$
根据$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，可得：
$\vert x_{1}-x_{2}\vert=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
把$x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$代入上式可得：
$\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}-4×\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}-2}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{8}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{2}$；$(2)\boldsymbol{\frac{49}{4}}$；$(3)\boldsymbol{\frac{31}{16}}$；$(4)\boldsymbol{\frac{\sqrt{17}}{2}}$。