《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形,再从①$AB = BC$,②$\angle ABC = 90^{\circ}$,③$AC = BD$,④$AC \perp BD$ 四个条件中,任选两个作为补充条件,使四边形 $ABCD$ 是正方形,其中错误的有(B)。
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④

答案： 1.B

2. 如图 1 - 10,在$\triangle ABC$ 中,$AB = 3$,$AC = 4$,$BC = 5$,$P$ 为 $BC$ 边上一动点,$PE \perp AB$ 于点 $E$,$PF \perp AC$ 于点 $F$,则 $EF$ 的最小值为(B)。

A.$2$
B.$2.4$

C.$2.6$
D.$3$
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答案： 2.B

3. 如图 1 - 11,在正方形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,点 $E$ 在边 $CD$ 上,且 $CD = 3DE$。将$\triangle ADE$ 沿 $AE$ 折叠至$\triangle AFE$,延长 $EF$ 交 $BC$ 于点 $G$,连接 $AG$,$CF$,则有下列结论：①$\triangle ABG \cong \triangle AFG$；②$BG = CG$；③$AG // CF$；④$S_{\triangle BGC} = S_{\triangle AFE}$；⑤$\angle AGB + \angle AED = 145^{\circ}$。其中,正确结论的个数是(C)。
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
]

答案： 3.C

4. 如图 1 - 12,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 4$,$BC = 6$,点 $P$ 在 $AD$ 边上,连接 $BP$,$PC$。若$\triangle BPC$ 是以 $PB$ 为腰的等腰三角形,则 $PB$ 的长为4.5或6。
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答案： 4.5或6

5. 如图 1 - 13,在正方形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$BC$ 边上的点,$DG \perp EF$ 于点 $G$,且 $DG = AB$。求证：$EF = AE + FC$。
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答案： 1. 首先，连接$DE$，$DF$：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = AB$，$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$。
已知$DG\perp EF$，则$\angle DGE=\angle DGF = 90^{\circ}$。
又因为$DG = AB$，所以$AD = DG$。
2. 然后，证明$\triangle ADE\cong\triangle GDE$：
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle GDE$中，$\left\{\begin{array}{l}DE = DE\\AD = DG\end{array}\right.$（$DE$是公共边，$AD = DG$已证）。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle GDE$。
由全等三角形的性质可知$AE = GE$。
3. 接着，证明$\triangle CDF\cong\triangle GDF$：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CD = AB$，又$DG = AB$，所以$CD = DG$。
在$Rt\triangle CDF$和$Rt\triangle GDF$中，$\left\{\begin{array}{l}DF = DF\\CD = DG\end{array}\right.$（$DF$是公共边，$CD = DG$已证）。
根据$HL$定理，可得$Rt\triangle CDF\cong Rt\triangle GDF$。
由全等三角形的性质可知$FC = GF$。
4. 最后，求$EF$的长度：
因为$EF=GE + GF$，且$AE = GE$，$FC = GF$。
所以$EF = AE + FC$。

1. 下列说法错误的是(C)。
A.顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形
B.四个角都相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

答案： 1.C

2. 如图,将菱形纸片 $ABCD$ 折叠,使点 $A$ 恰好落在菱形的对称中心 $O$ 处,折痕为 $EF$。若菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$ cm,$\angle A = 120^{\circ}$,则 $EF = $$\sqrt{3}$cm。
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答案： 2.$\sqrt{3}$

3. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$H$ 为 $AD$ 边的中点。若菱形 $ABCD$ 的周长为 $28$,则 $OH$ 的长是(A)。

A.$3.5$
B.$4$
C.$7$
D.$14$
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答案： 3.A