《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究二：探索验证
1. 如图 4-3-3,两个正六边形的边长分别为 $a$ 和 $b$,它们相似吗？为什么？

2. 在如图 4-3-4 所示的相似四边形中,你还能求出哪些边和角？试试看.

归纳总结：相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

答案： 相等；成比例

【例 1】(1)观察下面两组图形,图 4-3-5①中的两个图形相似吗？图 4-3-5②中的两个图形呢？为什么？

(2)如果两个多边形不相似,那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？

答案： 1. （1）
对于图$4 - 3 - 5$①：
解：图$4 - 3 - 5$①中的两个图形不相似。
理由：正方形的四个角都是$90^{\circ}$，菱形的角有钝角和锐角（菱形的对角相等，邻角互补），所以它们的角不对应相等。虽然正方形边长$a = 10$，菱形边长$b = 12$，但相似多边形需要满足对应角相等且对应边成比例，这里对应角不相等，所以不相似。
对于图$4 - 3 - 5$②：
解：图$4 - 3 - 5$②中的两个图形不相似。
理由：正方形的边长$a = 10$，矩形的长$b = 12$，宽$c = 8$。正方形的四条边都相等，矩形的对边相等。$\frac{10}{12}\neq\frac{10}{8}$，即对应边不成比例（正方形四个角是$90^{\circ}$，矩形四个角也是$90^{\circ}$，虽然角对应相等，但相似多边形需要角对应相等且边对应成比例，这里边不对应成比例）。
2. （2）
解：
如果两个多边形不相似，它们的各角可能对应相等。例如，正方形（边长为$a$）和矩形（长为$a$，宽为$b$，$a\neq b$），它们的角都对应相等（都是$90^{\circ}$），但因为边不对应成比例（$\frac{a}{a}\neq\frac{a}{b}$（$b\neq a$）），所以不相似。
如果两个多边形不相似，它们的各边可能对应成比例。例如，菱形（边长为$a$，角为$60^{\circ}$和$120^{\circ}$）和正方形（边长为$a$），$\frac{a}{a}=\frac{a}{a}$，边对应成比例，但角不对应相等（菱形角不是$90^{\circ}$），所以不相似。
综上，（1）图$4 - 3 - 5$①不相似，因为对应角不相等；图$4 - 3 - 5$②不相似，因为对应边不成比例；（2）两个多边形不相似时，各角可能对应相等，各边可能对应成比例。

【例 2】如图 4-3-6,矩形的草坪长 20 m、宽 10 m,草坪四周外围有宽 1 m 的环形小路,小路的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？

答案： 不相似，对应边不成比例.

1. 给出下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形. 其中每个图案花边的宽度都相同,那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的个数是(D).

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： D

2. 若$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,$AB = 3$,$DE = 4$,$\angle A = 30^{\circ}$,则$\angle D= $$30^{\circ}$,$\triangle ABC与\triangle DEF$的相似比为$\frac{3}{4}$.

答案： $30^{\circ}$；$\frac{3}{4}$

3. 如果$\triangle ABC$的三条边的长度之比为 $3:5:6$,与其相似的$\triangle A'B'C'$的最长边长 9 cm,且$\triangle A'B'C'与\triangle ABC$的相似比为 2,那么$\triangle ABC$的最短边长$\frac{9}{4}$ cm.

答案： $\frac{9}{4}$ cm