《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

归纳总结：
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2. 对称性：菱形是轴对称图形. 对称轴有两条.菱形也是中心对称图形. 对称中心是两条对角线的交点.
3. 菱形的性质：
(1)菱形具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形与平行四边形不相同的性质(特性)：菱形的四条边相等,对角线互相垂直.
4. 菱形面积的另一种求法：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.

答案： 1. 有一组邻边相等
2. 两；两条对角线的交点

 【例】如图1-1-3,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AD= 5,BD= 6,求菱形ABCD的周长及面积.

答案： 解：因为四边形ABCD是菱形，AD=5，
所以菱形ABCD的周长为$4× AD=4×5=20$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，BD=6，
所以$OD=\frac{1}{2}BD=3$，$\angle AOD=90^\circ$。
在$Rt\triangle AOD$中，由勾股定理得$AO=\sqrt{AD^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
所以$AC=2AO=8$，
菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×8×6=24$。
20，24

1. 菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是(D).
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D

2. 菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC= 6,BD= 4,则AB的长是(C).
A.6
B.4
C.$\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{13}$

答案： C

3. 如图1-1-4,四边形ABCD是菱形,∠ABC= 120°,AB= 6cm,则∠ABD= 60°,∠DAC= 30°,BD= 6cm,AC= 6√3cm,菱形ABCD的面积为18√3cm².

答案： 1. 求$\angle ABD$：
因为菱形的对角线平分一组对角，且$\angle ABC = 120^{\circ}$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$。
则$\angle ABD = 60^{\circ}$。
2. 求$\angle DAC$：
因为菱形的邻角互补，$\angle ABC = 120^{\circ}$，所以$\angle BAD=60^{\circ}$。
又因为菱形的对角线平分一组对角，所以$\angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAD$。
则$\angle DAC = 30^{\circ}$。
3. 求$BD$：
因为四边形$ABCD$是菱形，$AB = 6cm$，$\angle ABD = 60^{\circ}$，$\triangle ABD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，$AB = AD$，$\angle ABD = 60^{\circ}$）。
所以$BD=AB = 6cm$。
4. 求$AC$：
因为菱形的对角线互相垂直平分，$BD = 6cm$，所以$BO=\frac{1}{2}BD = 3cm$，$AB = 6cm$。
在$Rt\triangle ABO$中，根据勾股定理$AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}$，即$AO=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}cm$。
所以$AC = 2AO=6\sqrt{3}cm$。
5. 求菱形$ABCD$的面积：
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$。
把$AC = 6\sqrt{3}cm$，$BD = 6cm$代入公式，得$S=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×6 = 18\sqrt{3}cm^{2}$。
综上，答案依次为：$60^{\circ}$；$30^{\circ}$；$6cm$；$6\sqrt{3}cm$；$18\sqrt{3}cm^{2}$。

4. 如图1-1-5,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为AB边的中点,且OE= a,则菱形ABCD的周长为8a.

答案： 8a

5. 如图1-1-6,在菱形ABCD中,AE⊥BC,E为垂足,且BE= CE,AB= 2,求：
(1)∠BAD的度数；
(2)对角线AC的长及菱形ABCD的周长.

答案： 解：
(1)
∵AE⊥BC，且BE=CE，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE．
∴AB=AC．
又
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC．
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B=∠D=60°．
∴∠BAD=∠BCD=120°．
(2)AC=AB=2，周长为4×2=8．