《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

答案： 定义
- 菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
- 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
- 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
性质
- **边
菱形：四条边相等。
矩形：对边相等。
正方形：四条边相等。
角
菱形：对角相等。
矩形：四个角都是直角。
正方形：四个角都是直角。
对角线
菱形：对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。
矩形：对角线相等且平分。
正方形：对角线相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角。
判定
菱形：
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边相等的四边形是菱形。
矩形：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
正方形：
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
对称性
菱形：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有$2$条对称轴）。
矩形：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有$2$条对称轴）。
正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有$4$条对称轴）。

1. 下列命题是真命题的是(D)。
A.两条对角线相等的四边形是矩形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

答案： 1.D

2. 如图 1 - 1,已知四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,则下列能判断它是正方形的条件是(A)。

A.$AO = BO = CO = DO$,$AC \perp BD$
B.$AB = BC = CD = DA$
C.$AO = CO$,$BO = DO$,$AC \perp BD$
D.$AB = BC$,$CD \perp DA$
]

答案： 2.A

3. 如图 1 - 2,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$,$E$ 分别是边 $AB$,$AC$ 的中点,点 $G$,$F$ 在 $BC$ 边上,四边形 $DEFG$ 是正方形。若 $DE = 2$,则 $AC$ 的长为(D)。

A.$3\sqrt{3}$
B.$4$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$
]

答案： 3.D

4. 如图 1 - 3,将矩形纸片 $ABCD$ 沿 $AE$ 向上折叠,使点 $B$ 落在 $DC$ 边上的点 $F$ 处。若 $\triangle AFD$ 的周长为 $9$,$\triangle ECF$ 的周长为 $3$,则矩形 $ABCD$ 的周长为12。
]

答案： 4.12

5. 如图 1 - 4,在$□ ABCD$中,$E$,$F$ 分别是边 $AB$,$CD$ 的中点,$BD$ 是四边形 $BEDF$ 的对角线,过点 $A$ 作 $AG // BD$交 $CB$ 的延长线于点 $G$。
(1)求证：$\triangle ADE \cong \triangle CBF$。
(2)若四边形 $BEDF$ 是菱形,则四边形 $AGBD$ 是什么特殊四边形？请说明理由。
]

答案： 5.
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠C，CD=AB。
又
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴AE=CF。
∴△ADE≌△CBF。
(2)解：四边形AGBD是矩形。理由如下：
连接EF。
∵四边形BEDF是菱形，
∴BD⊥EF，DF//AB。
又
∵DF=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形。
∴EF//AD。
∴∠ADB=90°。
又
∵AD//BC，DB//AG，
∴四边形AGBD是平行四边形。
∴平行四边形AGBD是矩形。