《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究二：直角三角形斜边上的中线定理
如图 1-2-2,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD$ 是斜边上的中线. 求证：$CD = \frac{1}{2}AB$.

问题：分别以 $AC$,$BC$ 为矩形的两边构造矩形. 在构造的矩形中,$CD$ 是哪条线段的一半？
归纳总结：______.

答案：
证明:如图,延长CD到点E,使DE=CD,连接AE,BE,
则CD= \(\frac{1}{2}\)CE.
易知四边形ACBE是矩形,
所以CE=AB,即CD= \(\frac{1}{2}\)AB.

问题:CD是CE的一半.
归纳总结: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

【例】** 如图 1-2-3，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在 $BD$ 上，$BE = DF$.

(1) 求证：$AE = CF$；
(2) 若 $AB = 3$，$\angle AOD = 120^{\circ}$，求矩形 $ABCD$ 的面积.

答案：
(1)
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OC=OB=OD$。
∵$BE=DF$，
∴$OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\left\{\begin{array}{l}OA=OC\\\angle AOE=\angle COF\\OE=OF\end{array}\right.$，
∴$\triangle AOE\cong\triangle COF(SAS)$，
∴$AE=CF$。
(2)
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$\angle BAD=90^\circ$，$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB$。
∵$\angle AOD=120^\circ$，
∴$\angle AOB=180^\circ-\angle AOD=60^\circ$，
∴$\triangle AOB$是等边三角形，
∴$OA=AB=3$，
∴$AC=2OA=6$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=3$，$AC=6$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
∴矩形$ABCD$的面积$=AB× BC=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。

1. 若一个直角三角形的两条直角边分别长 5 和 12,则斜边上的中线长是6.5.

答案： 6.5

2. 平行四边形没有而矩形具有的性质是(A).
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角相等

答案： A

3. 下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(C).
A.平行四边形
B.等边三角形
C.矩形
D.直角三角形

答案： C

1. 矩形的定义中有两个条件：一是平行四边形,二是有一个角是直角.

答案： 平行四边形;有一个角是直角

2. 矩形的两条对角线的一个夹角为 $60^{\circ}$,对角线的长为 15 cm,则较短边的长为(C).
A.12 cm
B.10 cm
C.7.5 cm
D.5 cm

答案： C

3. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中,全等三角形共有(D).
A.2 对
B.4 对
C.6 对
D.8 对

答案： D