《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

列方程解应用题的一般步骤是什么？

答案： 审、设、列、解、验、答

探究：
如图2-6-2,一把长10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和顶端下滑的距离相等呢？

由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙6m.如果设梯子底端滑动x m,那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m.根据题意,得方程(8 - x)²+(6 + x)²=10².
问题：如果梯子的长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等,那么这个距离是多少？
解：设梯子顶端下滑$x$m，则梯子底端滑动$x$m。
已知梯子长度$c = 13m$，滑动前顶端距地面$12m$，根据勾股定理可得滑动前底端距墙$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5m$。
滑动后顶端距地面$(12 - x)m$，底端距墙$(5 + x)m$，根据勾股定理得方程$(12 - x)^{2}+(5 + x)^{2}=13^{2}$。
展开方程：
$\begin{aligned}144-24x+x^{2}+25 + 10x+x^{2}&=169\\2x^{2}-14x + 169 - 169&=0\\2x^{2}-14x&=0\\x^{2}-7x&=0\\x(x - 7)&=0\end{aligned}$
解得$x_{1}=0$（舍去），$x_{2}=7$。
所以梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离能相等，这个距离是$7m$。

答案： 探究部分
- 由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），已知梯子长$10m$（斜边），顶端距地面$8m$（一直角边），设底端距墙$x$米，则$x=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$，所以滑动前梯子底端距墙$6m$。
- 设梯子底端滑动$x m$，那么滑动后梯子底端距墙$(6 + x)m$，顶端下滑$x m$，顶端距地面$(8 - x)m$，根据勾股定理得方程$(8 - x)^{2}+(6 + x)^{2}=10^{2}$。
问题部分
解：设梯子顶端下滑$x m$，则梯子底端滑动$x m$。
已知梯子长度$c = 13m$，滑动前顶端距地面$12m$，根据勾股定理可得滑动前底端距墙$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5m$。
滑动后顶端距地面$(12 - x)m$，底端距墙$(5 + x)m$，根据勾股定理得方程$(12 - x)^{2}+(5 + x)^{2}=13^{2}$。
展开方程：
$\begin{aligned}144-24x+x^{2}+25 + 10x+x^{2}&=169\\2x^{2}-14x + 169 - 169&=0\\2x^{2}-14x&=0\\x^{2}-7x&=0\\x(x - 7)&=0\end{aligned}$
解得$x_{1}=0$（舍去），$x_{2}=7$。
所以梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离能相等，这个距离是$7m$。

【例】已知：如图2-6-3,在△ABC中,∠C= 90°,AB= 10cm,BC= 6cm,点P从点C开始沿边CB以2cm/s的速度向点B移动,点Q从点A开始沿边AC以1cm/s的速度向点C移动.两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.若设移动的时间为t s.
(1)当t= 1时,求PQ的长.
(2)在整个移动的过程中,是否存在某一时刻,使直线PQ平分△ABC的面积？若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由.

答案： 1. （1）
首先，根据勾股定理求$AC$的长：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10cm$，$BC = 6cm$，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = BC$，$b = AC$），可得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$。
则$AC=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8cm$。
当$t = 1$时，$CP=2t$，$AQ=t$，所以$CP = 2×1 = 2cm$，$AQ = 1×1 = 1cm$，那么$CQ=AC - AQ=8 - 1 = 7cm$。
然后，再根据勾股定理求$PQ$的长：
在$Rt\triangle CPQ$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理$PQ=\sqrt{CP^{2}+CQ^{2}}$。
把$CP = 2cm$，$CQ = 7cm$代入可得$PQ=\sqrt{2^{2}+7^{2}}=\sqrt{4 + 49}=\sqrt{53}cm$。
2. （2）
解：假设存在某一时刻$t$，使直线$PQ$平分$\triangle ABC$的面积。
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×8×6 = 24cm^{2}$，所以$S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=12cm^{2}$。
又因为$CP = 2t$，$CQ=AC - AQ=8 - t$，且$S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}CP\cdot CQ$（三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，这里$\angle C = 90^{\circ}$，$\sin C = 1$）。
则$\frac{1}{2}×2t×(8 - t)=12$。
化简方程：
方程两边同乘$2$得$2t(8 - t)=24$，即$16t-2t^{2}=24$。
移项化为标准的一元二次方程形式$t^{2}-8t + 12 = 0$。
接着，求解一元二次方程：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-8$，$c = 12$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×12=64 - 48 = 16$。
则$t=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{8\pm4}{2}$。
当$t=\frac{8 + 4}{2}$时，$t = 6$；当$t=\frac{8 - 4}{2}$时，$t = 2$。
最后，检验$t$的值：
点$P$从$C$到$B$的时间$t_{1}=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3s$，点$Q$从$A$到$C$的时间$t_{2}=\frac{AC}{1}=8s$。
因为$t = 6\gt3$（此时$P$已停止运动），所以舍去$t = 6$。
当$t = 2$时，$CP=2×2 = 4cm\lt6cm$，$CQ=8 - 2 = 6cm\lt8cm$，符合题意。
综上，（1）$PQ$的长为$\sqrt{53}cm$；（2）存在，$t = 2$。

列方程解应用题的一般步骤为______.

答案： 1. 设未知数；
2. 找出等量关系；
3. 列方程；
4. 解方程；
5. 检验并作答。

1. 有两块矩形木板,第一块的长是宽的2倍；第二块的一边比第一块的长少2m,与其相邻的另一边是第一块宽的3倍.已知第二块木板的面积比第一块大$108m^2,$则这两块木板的长和宽分别是(B).
A.第一块长18m,宽9m,第二块长27m,宽16m
B.第一块长12m,宽6m,第二块长18m,宽10m
C.第一块长9m,宽4.5m,第二块长13.5m,宽7m
D.以上都不对

答案： B