《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究二：两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形是否相似
画出△ABC 和△A'B'C',使$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}= k$,∠ABC= ∠A'B'C'.
问题 1：测量 BC,B'C'的长,并求$\frac{BC}{B'C'}$的值,$\frac{BC}{B'C'}= \frac{AC}{A'C'}$吗？
不一定，$\frac{BC}{B'C'}$的值不一定等于$\frac{AC}{A'C'}$。
问题 2：测量∠ACB,∠BAC,∠A'C'B',∠B'A'C'的大小,你发现了什么？
∠ACB≠∠A'C'B'，∠BAC≠∠B'A'C'。
问题 3：△ABC 和△A'B'C'一定相似吗？说说你的理由.
不一定相似。理由：两边成比例且其中一边的对角相等，无法保证第三边成比例或其余角对应相等。
问题 4：改变 k 值的大小,问题 1,2,3 的结论还相同吗？
结论相同。
归纳总结：两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似。

答案： 问题1：
不一定，$\frac{BC}{B'C'}$的值不一定等于$\frac{AC}{A'C'}$。
问题2：
∠ACB≠∠A'C'B'，∠BAC≠∠B'A'C'。
问题3：
不一定相似。理由：两边成比例且其中一边的对角相等，无法保证第三边成比例或其余角对应相等。
问题4：
结论相同。
归纳总结：
两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似。

探究三：两边成比例且夹角相等的两个三角形是否相似
画出△ABC 和△A'B'C',使$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}= k$,∠BAC= ∠B'A'C'.
问题 1：测量 BC,B'C'的长,并求$\frac{BC}{B'C'}$的值,$\frac{BC}{B'C'}= \frac{AC}{A'C'}$吗？
通过测量，得到$BC$和$B^{\prime}C^{\prime}$的长度。计算得出$\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}$的值，发现$\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}} = \frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}} = \frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}} = k$（或$\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}} =\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}} $）。
问题 2：测量∠ACB,∠ABC,∠A'C'B',∠A'B'C'的大小,你发现了什么？
通过测量，得到$\angle ACB$、$\angle ABC$、$\angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}$、$\angle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$的大小，发现$\angle ACB = \angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}$，$\angle ABC = \angle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$。
问题 3：△ABC 和△A'B'C'一定相似吗？说说你的理由.
$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$一定相似。理由：根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两边成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
问题 4：改变 k 值的大小,问题 1,2,3 的结论还相同吗？
改变$k$值的大小，问题1、2、3的结论仍然相同。
归纳总结：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

答案： 答题卡填入：
探究三：
1. 通过测量，得到$BC$和$B^{\prime}C^{\prime}$的长度。计算得出$\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}$的值，发现$\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}} = \frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}} = \frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}} = k$（或$\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}} =\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}} $）。
2. 通过测量，得到$\angle ACB$、$\angle ABC$、$\angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}$、$\angle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$的大小，发现$\angle ACB = \angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime}$，$\angle ABC = \angle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$。
3. $\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$一定相似。理由：根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两边成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
4. 改变$k$值的大小，问题1、2、3的结论仍然相同。
归纳总结：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

【例 1】如图 4-4-12,D,E 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的点. 若 AE= 1.5,AC= 2,且$\frac{AD}{AB}= \frac{3}{4}$,则△ADE 和△ABC 相似吗？为什么？

答案： 解:相似. 理由:
∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1.5}{2}=\frac{3}{4}$,$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.