《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

如何判断事件的公平性？

答案： 若所有参与者获胜的概率相等，则事件公平，否则不公平。

有三张除画面不同外其他均相同的纸牌,先将每一张从中间剪开,分成上下两部分,然后把三张纸牌的上半部分都放在第一个盒子中,把下半部分都放在第二个盒子中。分别摇匀后,从每个盒子中各随机地摸出一张,求这两张恰好能拼成原来的一张纸牌的概率。

答案： $\frac{1}{3}$

通过以前的学习对概率有了一个初步认识,如果针对比较多的情况求概率用什么样的方法呢？这种方法的优点是什么？

答案： 当情况较多时用树状图或表格法；优点是能清晰、不重复、不遗漏地列出所有可能结果。

探究：
小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏。游戏规则如下：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏,如果两人的手势相同,那么小凡获胜；如果两人的手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者。假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,你认为这个游戏对三人公平吗？

答案： 每个人获胜的概率均为$\frac{1}{3}$,所以是公平的.

 【例】小明、小军两同学做游戏。游戏规则如下：一个不透明的文具袋中装有型号完全相同的 3 支红笔和 2 支黑笔,两人先后从袋中取出一支笔(不放回),若两人所取笔的颜色相同,则小明胜,否则小军胜。
(1)请用画树状图或列表的方法列出取笔游戏所有可能的结果。
(2)请计算小明获胜的概率,并指出本游戏规则是否公平。若不公平,你认为对谁有利？

答案： 1. （1）列表法：
设$3$支红笔分别为$红_1$，$红_2$，$红_3$，$2$支黑笔分别为$黑_1$，$黑_2$。
列表如下：
| | $红_1$ | $红_2$ | $红_3$ | $黑_1$ | $黑_2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $红_1$ | - | $(红_1,红_2)$ | $(红_1,红_3)$ | $(红_1,黑_1)$ | $(红_1,黑_2)$ |
| $红_2$ | $(红_2,红_1)$ | - | $(红_2,红_3)$ | $(红_2,黑_1)$ | $(红_2,黑_2)$ |
| $红_3$ | $(红_3,红_1)$ | $(红_3,红_2)$ | - | $(红_3,黑_1)$ | $(红_3,黑_2)$ |
| $黑_1$ | $(黑_1,红_1)$ | $(黑_1,红_2)$ | $(黑_1,红_3)$ | - | $(黑_1,黑_2)$ |
| $黑_2$ | $(黑_2,红_1)$ | $(黑_2,红_2)$ | $(黑_2,红_3)$ | $(黑_2,黑_1)$ | - |
所有可能的结果有$n = 20$种。
2. （2）
解：由（1）可知两人所取笔颜色相同的情况有$m=(红_1,红_2)+(红_1,红_3)+(红_2,红_1)+(红_2,红_3)+(红_3,红_1)+(红_3,红_2)+(黑_1,黑_2)+(黑_2,黑_1)=8$种。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，小明获胜的概率$P(小明)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
小军获胜的概率$P(小军)=1 - P(小明)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。
因为$\frac{2}{5}\neq\frac{3}{5}$，即$P(小明)\neq P(小军)$，所以本游戏规则不公平。
又因为$\frac{2}{5}\lt\frac{3}{5}$，所以对小军有利。
综上，（1）所有可能结果如上述列表；（2）小明获胜概率为$\frac{2}{5}$，游戏规则不公平，对小军有利。

1. 准备两组相同的牌,每组三张且牌面数字大小一样,三张牌的牌面数字分别是 1,2,3。从每组牌中各摸出一张牌。
(1)两张牌的牌面数字和等于 1 的概率是多少？
(2)两张牌的牌面数字和等于 2 的概率是多少？
(3)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？
(4)两张牌的牌面数字和大于 3 的概率是多少？

答案： 1. （1）
解：从每组牌中各摸出一张牌，所有可能的结果有$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(2,3)$，$(3,1)$，$(3,2)$，$(3,3)$，共$n = 9$种。
因为两张牌面数字最小都是$1$，$1 + 1=2\gt1$，所以两张牌的牌面数字和等于$1$的结果数$m_1 = 0$。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得$P(和等于1)=\frac{0}{9}=0$。
2. （2）
解：两张牌的牌面数字和等于$2$的结果只有$(1,1)$这$1$种，即$m_2 = 1$。
根据概率公式$P = \frac{m}{n}$，$n = 9$，所以$P(和等于2)=\frac{1}{9}$。
3. （3）
解：两张牌面数字和为$2$的情况$1$种$(1,1)$；和为$3$的情况有$(1,2)$，$(2,1)$共$2$种；和为$4$的情况有$(1,3)$，$(2,2)$，$(3,1)$共$3$种；和为$5$的情况有$(2,3)$，$(3,2)$共$2$种；和为$6$的情况有$(3,3)$共$1$种。
因为$3\gt2 = 2\gt1 = 1$，所以两张牌的牌面数字和为$4$的概率最大。
4. （4）
解：两张牌面数字和大于$3$的情况有和为$4$（$3$种）、和为$5$（$2$种）、和为$6$（$1$种），共$m_4=3 + 2+1=6$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，$n = 9$，所以$P(和大于3)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
综上，（1）$0$；（2）$\frac{1}{9}$；（3）$4$；（4）$\frac{2}{3}$。