《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 相似三角形的对应角相等,相似三角形的对应边成比例.

答案： 对应角;对应边

2. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.

答案： 相似比

1. △ABC∽△A′B′C′,BD 和 B′D′是它们的对应中线. 已知 $\frac{AC}{A'C'}= \frac{3}{4}$,B′D′= 5,则 BD= $\frac{15}{4}$.

答案： $\frac{15}{4}$

2. △ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′是它们的对应角平分线. 已知 AD= 4 cm,A′D′= 3 cm,则△ABC 与△A′B′C′对应高的比为4:3.

答案： $4:3$

3. 已知两个相似三角形的面积比为 9:4,那么这两个三角形的周长比为3:2.

答案： $3:2$

4. 若两个相似三角形的面积比为 2:7,较大三角形一边上的高为 14,则较小三角形对应边上的高为$2\sqrt{14}$.

答案： $2\sqrt{14}$

相似三角形的性质定理是什么？

答案： 相似三角形对应角相等，对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

探究一：探索相似三角形的性质
问题 1：如图 4-7-1,△ABC∽△A′B′C′,相似比为 k,它们对应边上的高的比为多少？

问题 2：△ABC∽△A′B′C′,相似比为 k,它们对应边上的角平分线的比为多少？请画图证明.
问题 3：△ABC∽△A′B′C′,相似比为 k,它们对应边上的中线的比为多少？请画图证明.
问题 4：△ABC∽△A′B′C′,相似比为 k,它们的周长的比为多少？请画图证明.
问题 5：△ABC∽△A′B′C′,相似比为 k,它们的面积的比为多少？请画图证明.
归纳总结：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比k；面积的比等于相似比的平方$k^2$。.

答案： 问题1：
解：设AD、A'D'分别为△ABC、△A′B′C′对应边BC、B'C'上的高。
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
∴∠B=∠B'，∠ADB=∠A'D'B'=90°，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应边上的高的比为k。
问题2：
解：画图：作△ABC和△A′B′C′，AD、A'D'分别为∠BAC、∠B'A'C'的角平分线，交BC于D，B'C'于D'。
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC=∠B'A'C'，∠B=∠B'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应边上的角平分线的比为k。
问题3：
解：画图：作△ABC和△A′B′C′，AD、A'D'分别为BC、B'C'边上的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'。
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，∠B=∠B'，
∴$\frac{BD}{B'D'}=k$，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应边上的中线的比为k。
问题4：
解：设△ABC三边为AB、BC、AC，△A′B′C′三边为A'B'、B'C'、A'C'。
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，AC=kA'C'，
∴周长比=$\frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{k(A'B'+B'C'+A'C')}{A'B'+B'C'+A'C'}=k$，即周长的比为k。
问题5：
解：设BC边上的高为h，B'C'边上的高为h'，由问题1知$\frac{h}{h'}=k$。
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
∴$\frac{BC}{B'C'}=k$，
∴面积比=$\frac{\frac{1}{2}BC\cdot h}{\frac{1}{2}B'C'\cdot h'}=\frac{BC}{B'C'}\cdot\frac{h}{h'}=k\cdot k=k^2$，即面积的比为$k^2$。
归纳总结：
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比k；面积的比等于相似比的平方$k^2$。