《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

6. 下列说法正确的个数是(B).
①所有的黄金矩形都相似；②已知关于x的方程$\frac{2x+m}{x-3}= 3$的解是正数,那么m的取值范围是m＞-6；③若分式$\frac{x-2}{x-3}$有意义,则x≠3；④“对顶角相等”的逆命题是真命题.
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

7. 如图,用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置F,因而EF= EB. 类似地,在AB上折出点M,使AM= AF,则点M是AB的黄金分割点吗？若是,请证明；若不是,请说明理由.

答案： 解：点 M 是 AB 的黄金分割点.证明：
∵正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，$\therefore BE=1$，$\therefore AE=\sqrt{5}$.
∵$EF=BE=1$，$\therefore AF=AE-EF=\sqrt{5}-1$.$\therefore AM=AF=\sqrt{5}-1$.$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∴点 M 是 AB 的黄金分割点.

8. 已知点C和D均为线段AB的黄金分割点,CD= 6,求AB的长.

答案： $6\sqrt{5}+12$.

1. 如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,∠A= 36°,∠C= 72°,∠ADB= 108°. 求证：
(1)AD= BD= BC；
(2)点D是线段AC的黄金分割点.

答案： 证明：
(1)
∵$\angle A=36^{\circ}$，$\angle C=72^{\circ}$，$\therefore \angle ABC=72^{\circ}$.
∵$\angle ADB=108^{\circ}$，$\therefore \angle ABD=36^{\circ}$，$\therefore \angle ABD=\angle A$，$\therefore AD=BD$，$\therefore \angle BDC=72^{\circ}$，$\therefore \angle BDC=\angle C$，$\therefore BD=BC$.$\therefore AD=BD=BC$.
(2)
∵$\angle DBC=\angle A=36^{\circ}$，$\angle C=\angle C$，$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle BDC$.$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$.$\therefore BC^{2}=AC\cdot CD$.
∵$AD=BC$，$\therefore AD^{2}=AC\cdot CD$.
∴点 D 是线段 AC 的黄金分割点.