《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

5. 如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F,且 AF = BD,连接 BF。
(1)求证：D 是 BC 的中点；
(2)若 AB = AC,试判断四边形 AFBD 的形状,并证明你的结论。
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答案：
(1)证明:
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DCE.
∵E为AD的中点，
∴AE=DE.在△AEF和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠DCE,\\ ∠AEF=∠DEC,\\ AE=DE,\end{array}\right. $
∴△AEF≌△DEC，
∴AF=CD.
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中点.
(2)解:若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下：由
(1)知CD=BD.
∵AF//BD,AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB=AC,BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形.

1. 如图,EB = EC,EA = ED,AD = BC,∠AEB = ∠DEC。求证：四边形 ABCD 是矩形。
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答案： 证明：
∵∠AEB=∠DEC，
∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC，即∠AEC=∠DEB。
在△AEC和△DEB中，
∵EA=ED，∠AEC=∠DEB，EC=EB，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=BD。
在△AEB和△DEC中，
∵EA=ED，∠AEB=∠DEC，EB=EC，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴AB=CD。
∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形。

1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

答案： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2. 矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.

答案： 矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等

3. 证明一个四边形是矩形有哪几种方法？

答案：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；
(3)有三个角是直角的四边形是矩形.