《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

探究三：一元二次方程根的判别式
若关于$x的一元二次方程x^{2}-4x + 2m = 0$无实数根,求$m$的取值范围。
问题$1$：一元二次方程根的判别式是$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题$2$：一元二次方程无实数根的条件是什么？$\Delta ＜ 0$

答案： 问题1：$\Delta = b^2 - 4ac$
问题2：$\Delta ＜ 0$
解：对于方程$x^2 - 4x + 2m = 0$，其中$a = 1$，$b = -4$，$c = 2m$。
$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × 2m = 16 - 8m$
因为方程无实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$16 - 8m ＜ 0$
$16 - 8m ＜ 0$
$-8m ＜ -16$
$m ＞ 2$
结论：$m$的取值范围是$m ＞ 2$

探究四：一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程$2x^{2}+3x - 2 = 0的两个根分别为x_{1}$,$x_{2}$,那么$x_{1}+x_{2}= $-3/2,$x_{1}x_{2}= $-1。

答案： -3/2;-1

 【例$1$】某电脑公司$2024年的经营总收入是1500$万元,该公司预计$2026年的经营总收入要达到2160$万元,且计划从$2024年到2026$年,每年经营总收入的年增长率相同,那么推测$2025$年该公司的经营总收入为多少万元。

答案： 提示:可求得年增长率为20%,推测2025年该公司的经营总收入为1800万元.

1. 已知$x = 2是方程x^{2}+mx + 2 = 0$的一个解,则$m$的值是(A)。
A.$-3$
B.$3$
C.$0$
D.$0或3$

答案： A

2. 用配方法解方程$3x^{2}-6x + 1 = 0$,则方程可变形为(D)。
A.$(x - 3)^{2}= \frac{1}{3}$
B.$3(x - 1)^{2}= \frac{1}{3}$
C.$(3x - 1)^{2}= 1$
D.$(x - 1)^{2}= \frac{2}{3}$

答案： D

3. 已知$m$,$n是方程x^{2}+3x - 2 = 0$的两个实数根,则$m^{2}+4m + n + 2mn$的值为(C)。
A.$1$
B.$3$
C.$-5$
D.$-9$

答案： C

4. 解方程：
(1)$x^{2}-2x - 3 = 0$；
(2)$(x - 3)^{2}+2x(x - 3) = 0$。

答案： 1. （1）解：
对于方程$x^{2}-2x - 3 = 0$，我们使用因式分解法。
因为$x^{2}-2x - 3=(x - 3)(x + 1)$，所以原方程可化为$(x - 3)(x + 1)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x-3 = 0$或$x + 1 = 0$。
当$x-3 = 0$时，解得$x = 3$；当$x + 1 = 0$时，解得$x=-1$。
2. （2）解：
对于方程$(x - 3)^{2}+2x(x - 3)=0$，提取公因式$(x - 3)$。
原方程可化为$(x - 3)[(x - 3)+2x]=0$，即$(x - 3)(x - 3 + 2x)=0$，进一步化简为$(x - 3)(3x - 3)=0$，提取公因式$3$得$3(x - 3)(x - 1)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x - 3 = 0$或$x - 1 = 0$。
当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$；当$x - 1 = 0$时，解得$x = 1$。
综上，（1）方程的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；（2）方程的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=1$。

1. 方程$x^{2}-2x + 1 = 0$的解是x₁=x₂=1。

答案： x₁=x₂=1

2. 已知关于$x的方程kx^{2}+(1 - k)x - 1 = 0$,下列说法正确的是(C)。
A.当$k = 0$时,方程无解
B.当$k = 1$时,方程有一个实数解
C.当$k= -1$时,方程有两个相等的实数解
D.当$k\neq0$时,方程总有两个不相等的实数解

答案： C

3. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-mx + 2m = 0的一个根为1$,则方程的另一个根为-2。

答案： -2

4. 一个三角形的每条边的长都是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的根,则这个三角形的周长是6或12或10。

答案： 6或12或10

5. 一种药品经过两次降价,药价从原来每盒$60元降至现在的48.6$元,则平均每次降价的百分率是10%。

答案： 10%