《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

如何理解试验频率和理论概率的关系？

答案： 试验频率是多次试验中事件发生次数与总次数的比，理论概率是大量试验时频率稳定的常数，次数越多频率越接近概率，频率≠概率

为了估计池塘里有多少条鱼,从池塘里捕捞了 1 000 条鱼做上标记,然后放回池塘里,经过一段时间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后,再捕捞 200 条. 若其中有标记的鱼有 10 条,则估计池塘里有20000条鱼.

答案： 20000

鱼缸里有几条鱼,只要数一数就可以. 但是要估计池塘里有多少条鱼,该怎么办？李大爷承包了村里的池塘,辛苦了一年,李大爷家今年的收成如何？你能帮助李大爷估计池塘中有多少条鱼吗？
有学生认为,把池塘里的鱼全部捞出,就可以知道了. 也有学生反对,因为全部捞出鱼会死,再说也不好知道池塘里的鱼是否全部捞出.
能否不把池塘里的鱼全部捞出就可以估计李大爷承包的池塘中有多少条鱼呢？

答案： 估计池塘里有多少条鱼，可以采用抽样调查的方法。
首先，从池塘中随机捕获一部分鱼，给这部分鱼做上记号，并记录下做记号的鱼的数量，假设为$m$条。
然后，将这部分鱼放回池塘中，等待一段时间后，再次从池塘中随机捕获一部分鱼，假设捕获的鱼总数为$n$条，其中有记号的鱼数量为$k$条。
设池塘中总共有$N$条鱼，那么根据比例关系，可以得到以下等式：
$\frac{m}{N} = \frac{k}{n}$，
解这个等式，可以得到池塘中鱼的总数$N$的估计值：
$N = \frac{mn}{k}$，
所以，通过这种方法，可以不把池塘里的鱼全部捞出，就可以估计池塘中有多少条鱼。

探究：
如果咱们班 50 个同学中有 2 个同学的生日相同,那么能说明这 50 个同学中有 2 个同学生日相同的概率是 1 吗？如果咱们班没有 2 个同学的生日相同,能说明其相应概率为 0 吗？
咱们班 50 个同学中有 2 个同学的生日相同,并不能说明 50 个同学中有 2 个同学生日相同的概率是 1；而 50 个同学中没有 2 个同学生日相同,也不能说明其相应概率为 0.
例如“随意抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后反面朝上,我们就说反面朝上的概率为 1,反面朝下的概率是 0”很显然是错误的. 概率的意义应建立在大量重复试验的基础上,用事件发生的频率近似地表示概率. 每个同学课外调查 10 个人的生日,从全班的调查结果中随机选择 50 个被调查人,看看他们中有没有 2 个人的生日相同. 将全班同学的调查数据集中起来,设计一个方案. 估计 50 个人中有 2 个人生日相同的概率.
准备工作：每个同学课外调查 10 个人的生日,为了节约时间,可进行一定的简化,如将“3 月 8 日”记为“0308”.
在具体试验时,可以将学生所调查的生日写在纸条上并放在箱子里随机抽取. 重复多次试验,即可估计出 50 个人中有 2 个人生日相同的概率,实际上这就是模拟试验. 在大量重复试验过程中初步感受到本问题的概率较大.
归纳总结：从统计中可发现,我们可用试验的频率估计理论概率,并使我们感受到本问题的概率较大,约为 0.970 4. 这个问题出乎意料之处在于其结果违反了人们的感觉. 人们往往觉得 2 个人生日相同是一种可能性不大的事情. 但计算结果告诉我们：如果人数不少于 23,那么这种可能性就会达到 50%.

答案： 1. 不能说明概率是1；不能说明概率为0。理由：概率是理论值，基于大量重复试验的频率稳定值，单次试验结果不能确定概率。
2. 方案：①收集全班同学调查的生日数据（如“0308”形式）；②将所有数据放入容器中，随机抽取50个组成样本；③检查样本中是否有2人生日相同，记录“有”或“无”；④重复试验n次，统计有相同生日的次数m；⑤用频率m/n估计50个人中有2个人生日相同的概率。
3. 结论：通过大量重复试验，频率趋近于理论概率（约0.9704）。