《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

1. 如图,小萌在晚上由路灯 A 走向路灯 B,当她走到 P 点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯 A 的底部,当她向前再步行 12 m 到 Q 点时,发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯 B 的底部. 已知小萌的身高是 1.6 m,两路灯的高度都是 9.6 m,且 AP= QB= x m.

(1)求两路灯之间的距离.
(2)当小萌在 A,B 之间走动时,在两灯光下的影子长是变化的,那么两个影子的长的和变吗？请说明理由.

答案： $(1)$ 求两路灯之间的距离
解：
因为小萌身高与路灯高度成比例关系，由相似三角形的性质可得：
$\frac{小萌身高}{路灯高度}=\frac{AP}{AB}$（当在$P$点时），$\frac{小萌身高}{路灯高度}=\frac{QB}{AB}$（当在$Q$点时）。
已知小萌身高$h = 1.6m$，路灯高度$H=9.6m$，$AP = QB=xm$，$PQ = 12m$，$AB=(2x + 12)m$。
根据相似三角形对应边成比例$\frac{h}{H}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{1.6}{9.6}=\frac{x}{2x + 12}$。
交叉相乘可得：$1.6×(2x + 12)=9.6x$。
展开括号：$3.2x+19.2 = 9.6x$。
移项：$9.6x-3.2x=19.2$。
合并同类项：$6.4x=19.2$。
解得$x = 3$。
两路灯之间的距离$AB=2x + 12=2×3+12=18m$。
$(2)$ 判断两个影子长的和是否变化
解：
设小萌距离$A$路灯$a$米，距离$B$路灯$b$米，$a + b=18$，影子长分别为$m$，$n$。
根据相似三角形性质$\frac{1.6}{9.6}=\frac{m}{m + a}$，$\frac{1.6}{9.6}=\frac{n}{n + b}$。
由$\frac{1.6}{9.6}=\frac{m}{m + a}$，可得$9.6m=1.6m+1.6a$，$8m = 1.6a$，$m=\frac{1}{5}a$；
由$\frac{1.6}{9.6}=\frac{n}{n + b}$，可得$9.6n=1.6n+1.6b$，$8n = 1.6b$，$n=\frac{1}{5}b$。
两个影子长的和$m + n=\frac{1}{5}a+\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}(a + b)$。
因为$a + b = 18$（两路灯间距不变），所以$m + n=\frac{1}{5}×18 = 3.6m$（不变）。
综上，$(1)$ 两路灯之间的距离为$\boldsymbol{18m}$；$(2)$ 两个影子长的和不变，理由如上述解题过程。

1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线,平行光线所形成的投影称为平行投影.

答案： 平行光线

3. 特点：在同一地点,不同时刻,同一物体的影子的方向和长度可能不同.不同时刻,物体在太阳光下的影子的方向在变,长短(或长度)也在变.在同一地点,同一时刻,不同物体的高度与影长成正比.

答案： 方向；长度；方向；长短(或长度)；正比

5. 就北半球而言,从早晨到傍晚,物体的影子的指向：上午向西,下午东；影子的变化情况：上午日影越来越短,下午日影越来越长.

答案： 东；短；长