《2025年课堂精练九年级数学上册北师大版大庆专版》

4. 若 $\frac{x}{3}= \frac{y}{4}$,则 $\frac{x - y}{y}= $$-\frac{1}{4}$。

答案： $-\frac{1}{4}$

5. 若 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}= 3$,且 $ b + d + f = 4 $,则 $ a + c + e = $12。

答案： 12

6. 若 $ a = 8 cm $,$ b = 6 cm $,$ c = 4 cm $,且 $ a $,$ b $,$ c $,$ d $ 四条线段成比例,则 $ d = $3cm。

答案： 3

1. 比例的基本性质是什么？

答案： 如果$a:b = c:d$（或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$），那么$ad = bc$；反之，若$ad = bc$（$b$、$d\neq0$），则$a:b = c:d$（或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$）

2. 比例的合比性质是什么？

答案： 比例的合比性质是若a:b=c:d，则(a+b):b=(c+d):d（b、d≠0） 。（本题无选项，若按常规题目格式此处无对应答案选项内容）

3. 比例的等比性质是什么？

答案： 如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{m}{n}$（$b+d+\cdots+n\neq0$），那么$\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=\frac{a}{b}$

探究：
1. 比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积。
请补充下面的推理过程：
$\because\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,在两边同乘 $ bd $,得 $\frac{a}{b}×$$bd$$ =\frac{c}{d}×$$bd$,$\therefore ad = $$bc$。
2. 比例的合比性质：如果 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,那么 $\frac{a\pm b}{b}=$$\frac{c\pm d}{d}$。
请补充下面的推理过程：
$\because\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,在两边同时加上 1,得 $\frac{a}{b}+$1$ =\frac{c}{d}+$1,
$\therefore$ 两边分别通分,得 $\frac{a + b}{b}=$$\frac{c + d}{d}$。
思考：请仿照上面的方法,证明“如果 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,那么 $\frac{a - b}{b}= \frac{c - d}{d}$”。
证明“如果 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$，那么 $\frac{a - b}{b}= \frac{c - d}{d}$”：
$\because\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$，在两边同时减去 1，得 $\frac{a}{b}-1 = \frac{c}{d}-1$，$\therefore$ 两边分别通分，得 $\frac{a - b}{b}= \frac{c - d}{d}$。
3. 比例的等比性质：如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \ldots = \frac{m}{n}$（$b + d + \ldots + n \neq 0$），那么$\frac{a + c + \ldots + m}{b + d + \ldots + n} = \frac{a}{b}$。
猜想 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}=… =\frac{m}{n}$($ b + d+… + n\neq 0 $)$\Rightarrow$$\frac{a + c+… + m}{b + d+… + n}= \frac{a}{b}$ 是否成立？(引导学生从上述实例中找出证明方法)
成立。
证明：设$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \ldots = \frac{m}{n} = k$，则$a = kb, c = kd, \ldots, m = kn$。
所以$\frac{a + c + \ldots + m}{b + d + \ldots + n} = \frac{kb + kd + \ldots + kn}{b + d + \ldots + n} = k = \frac{a}{b}$。
思考：在等比性质中,为什么需要 $ b + d+… + n\neq 0 $ 这个条件？
在等比性质中，需要$b + d + \ldots + n \neq 0$这个条件，是为了保证分母不为零，从而避免分式无意义。

答案： 1. 比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积。
$\because\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$，在两边同乘 $bd$，得 $\frac{a}{b} × bd = \frac{c}{d} × bd$，$\therefore ad = bc$。
2. 比例的合比性质：如果 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$，那么 $\frac{a\pm b}{b}= \frac{c\pm d}{d}$。
$\because\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$，在两边同时加上 1，得 $\frac{a}{b}+1 = \frac{c}{d}+1$，$\therefore$ 两边分别通分，得 $\frac{a + b}{b}= \frac{c + d}{d}$。
证明“如果 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$，那么 $\frac{a - b}{b}= \frac{c - d}{d}$”：
$\because\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$，在两边同时减去 1，得 $\frac{a}{b}-1 = \frac{c}{d}-1$，$\therefore$ 两边分别通分，得 $\frac{a - b}{b}= \frac{c - d}{d}$。
3. 比例的等比性质：如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \ldots = \frac{m}{n}$（$b + d + \ldots + n \neq 0$），那么$\frac{a + c + \ldots + m}{b + d + \ldots + n} = \frac{a}{b}$。
成立。
证明：设$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \ldots = \frac{m}{n} = k$，则$a = kb, c = kd, \ldots, m = kn$。
所以$\frac{a + c + \ldots + m}{b + d + \ldots + n} = \frac{kb + kd + \ldots + kn}{b + d + \ldots + n} = k = \frac{a}{b}$。
在等比性质中，需要$b + d + \ldots + n \neq 0$这个条件，是为了保证分母不为零，从而避免分式无意义。

【例 1】已知 $ a:b:c = 4:3:2 $,且 $ a + 3b - 3c = 14 $。
(1) 求 $ a $,$ b $,$ c $ 的值；
(2) 求 $ 4a - 3b + c $ 的值。

答案： 解:
(1)设$a=4k,b=3k,c=2k$,其中$k≠0$.$\because a+3b-3c=14$,$\therefore 4k+9k-6k=14$,$\therefore 7k=14$,$\therefore k=2$,$\therefore a=8,b=6,c=4$.
(2)$4a-3b+c=32-18+4=18$.

【例 2】如图 4-1-1,一块矩形绸布的长 $ AB = a m $,宽 $ AD = 1 m $,按照图中所示的方式将它裁成相同的四面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同,即 $\frac{AD}{AE}= \frac{AB}{AD}$,那么 $ a $ 的值应当是多少？

答案： 解:根据题意可知,$AB=a\ m$,$AE=\frac{1}{4}a\ m$,$AD=1\ m$.由$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AD}$,得$\frac{1}{\frac{1}{4}a}=\frac{a}{1}$,即$\frac{1}{4}a^{2}=1$,$\therefore a^{2}=4$,解得$a=2$($a=-2$舍去).